Qualcosa di Cantor

Messaggioda fausto1947 » 21/08/2019, 09:20

Buon giorno,
Riporto una parte di una relazione che stò leggendo


"2) Secondo fatto incredibile: i punti dello spazio sono tanti quanti quelli di un segmento piccolo a piacere.
Georg Cantor fu cosi fortemente impressionato da questa sua scoperta da scrivere a Dedekind, comunicandogliela: «Lo vedo, ma non lo credo!». La ragione mi dice di si, ma il fatto mi appare incredibile! La scoperta sconvolgente consisteva nel dimostrare che un quadrato, e cosi pure un cubo, ha tanti punti quanti il suo lato.
a) Un quadrato Q di lato uno (una unità di misura, non importa quale) ha tanti punti quanto il suo lato.
Possiamo fissare un punto P del quadrato assegnando le sue distanze x dal lato verticale, y dal lato orizzontale (cioè le sue ‘coordinate’). Nel nostro caso, x e y sono due numeri compresi tra 0 e 1. I quattro vertici del quadrato hanno coordinate (girando nel senso delle lancette dell’orologio a partire dal vertice a sinistra in basso):

(0,0) ; (0,1) ; (1,1) ; (1,0)

(qui dovrebbero esserci gli assi cartesiani con un punto P(x,y) che il copia incolla non mi ha riportato)

x e y sono numeri che esprimono misure, e precisamente misure rispetto al lato preso come «metro», di segmenti non maggiori di esso; sono allora numeri compresi tra 0 e 1. I numeri che esprimono misure, quelli ‘razionali’ e quelli non razionali (irrazionali) vengono chiamati nel loro insieme ‘numeri reali’. Perciò, i numeri che adesso ci interessano, misure di segmenti non superiori al lato del quadrato Q preso come metro, sono i numeri reali compresi tra 0 e 1. Un numero siffatto, diciamo t, può essere espresso nella forma:

t=0,t1t2t3…………tn…

dove le ti sono cifre comprese tra 0 e 9 (supponiamo di usare la ordinaria numerazione decimale). I casi sono due.
— Il numero t è razionale (è una frazione, “rapporto”, ratio in latino, di due interi). Allora, da un certo n in poi o le cifre sono tutte zero, o si ripetono in «periodi» uguali;
— Il numero t è irrazionale; questo accade quando le infinite cifre non sono tutte zero da un certo punto in poi, e non si ripetono periodicamente.
Per esempio radice di 2 , che esprime il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato, è irrazionale (è a infinite cifre, e non è periodico); cosi il famoso pi greco=3,14159... (che le misure non fossero tutte date da rapporti di interi, fu grande scoperta dei greci).
I numeri pari, e cosi quelli dispari, sono tanti quanti tutti gli interi (naturali) (la corrispondenza n  2n tra interi e pari è biunivoca, ecc). Possiamo perciò scrivere le coordinate x, y di un punto P nella forma:

x = 0, a1 a3 a5…
y = 0, a2 a4 a6…

(x, y rappresentano cosi numeri reali, razionali o non, compresi tra 0 e 1).
Perciò un punto P del quadrato di lato 1 può essere identificato con la coppia (ordinata) di numeri x, y sopra scritti, sue coordinate. (Attenzione, ‘coppia ordinata’; l’ordine, cioè la successione, ha una importanza decisiva: i punti (1,0) e (0,1) sono agli estremi opposti!)"

E qui comincio a non capire.
Ad x sono stati attribuiti dei pedici dispari ed a y dei pedici pari.
Ora, cosa identificano i pedici pari ed i pedici dispari? Forse i pedici dispari identificano numeri dispari ed i pari numeri pari? Oppure la posizione dopo la virgola per cui a1 identifica i decimi, a3 millesimi, a5 contimillesimi e di conseguenza a2 i centisimi e così via? Oppure sono stati messi così solo per diversificarli ma a1 e a2 sono decimi, a3 e a4 centesimi, ecc.?
Cari signori, immergersi in questo campo diventa sempre più difficile e complicato, soprattutto quando la tua mente non è più agile e fresca come da ragazzo.
Fausto
Avatar utente
fausto1947
New Member
New Member
 
Messaggio: 29 di 83
Iscritto il: 08/07/2019, 08:39
Località: Lodi

Re: Qualcosa di Cantor

Messaggioda caulacau » 21/08/2019, 09:33

Ti si vuole dimostrare che esiste una biiezione tra il segmento \(I = [0,1]\) e il quadrato \(Q = [0,1]\times[0,1]\): un punto \(p \in Q\) ha per coordinate una coppia di numeri reali \((x,y)\), e viene definita una funzione \(I \to Q\) che manda un numero reale¹ \(\sum a_i 10^{-i}\) nella coppia \(\big( \sum a_{2i+1}10^{-i}, \sum a_{2j} 10^{-j} \big)\); questa funzione è iniettiva e suriettiva.

[¹] I numeri reali in \([0,1]\) si scrivono, in base 10, tutti come sommatorie infinite di questa forma; se non ti piace questa scrittura, pensa che è solo un modo di compattare l'espansione decimale \(x = 0.a_1a_2a_3\dots\) di un numero reale.


PS:
immergersi in questo campo diventa sempre più difficile e complicato, soprattutto quando la tua mente non è più agile e fresca come da ragazzo.

Non c'entra; è che tu pretendi di imparare qualcosa leggendo libri divulgativi. Apri un libro vero e inizia a studiarlo da pagina 1:
https://www.amazon.it/Istituzioni-algeb ... 8807620030
https://www.zanichelli.it/ricerca/prodotti/analisi-zero
http://www-dimat.unipv.it/~pirola/dispense.pdf
etc., etc.
Avatar utente
caulacau
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 233 di 466
Iscritto il: 08/05/2019, 18:30

Re: Qualcosa di Cantor

Messaggioda fausto1947 » 03/01/2021, 17:09

Buon Anno,
é passato un anno e nel frattempo ho seguito il consiglio di "caulucau", mi sono procurato un ottimo libro di algebra ed ho cominciato a leggerlo da pagina 1.
C'è una cosa della quale non capisco il perché.
Ben ricordo che allora (anni '60) la radice di 4 era (+ o -) 2, ora invece si scrive solo 2 perché radice principale e -2 non si scrive anche se esiste. Perché?
Avatar utente
fausto1947
New Member
New Member
 
Messaggio: 30 di 83
Iscritto il: 08/07/2019, 08:39
Località: Lodi

Re: Qualcosa di Cantor

Messaggioda @melia » 03/01/2021, 20:03

Perché fino all'inizio degli anni settanta non aveva ancora preso piede il concetto di funzione come lo intendiamo ora. Nei miei libri degli anni settenta si parlava di funzioni univoche e funzioni plurivoche.
Ma già alla fine degli anni settanta, quando ero all'università, le funzioni erano solo univoche e, negli altri casi, si parlava di curve algebriche.
Ormai la definizione di funzione è solo quella univoca, quindi se vuoi elevare la radice al concetto di funzione, deve essere univoca.
È sempre vero che $x^2=4$ diventa $x= +-2$, ma se vuoi usare la radice devi scrivere
$x^2=4 -> x= +-sqrt4 -> x= +-2$

Spero di aver risposto alla tua curiosità.
Sara Gobbato

732 chilometri senza neppure un autogrill
Avatar utente
@melia
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 12440 di 21976
Iscritto il: 16/06/2008, 18:02
Località: Padova

Re: Qualcosa di Cantor

Messaggioda solaàl » 03/01/2021, 20:29

@melia ha scritto:Perché fino all'inizio degli anni settanta non aveva ancora preso piede il concetto di funzione come lo intendiamo ora. Nei miei libri degli anni settenta si parlava di funzioni univoche e funzioni plurivoche.
Ma già alla fine degli anni settanta, quando ero all'università, le funzioni erano solo univoche e, negli altri casi, si parlava di curve algebriche.
Credo questa distinzione sia un po' piu antica (tipo, nei pressi di Riemann). Sorge quindi il dubbio: anni '70 di che secolo?
"In verità le cose che nella vita sono tenute in gran conto si riducono a vanità, o putredine di nessun valore; botoli che si addentano, bambocci litigiosi che ora ridono, poi tosto piangono." (Lotario conte di Segni)
Avatar utente
solaàl
Senior Member
Senior Member
 
Messaggio: 730 di 1672
Iscritto il: 31/10/2019, 01:45

Re: Qualcosa di Cantor

Messaggioda @melia » 04/01/2021, 09:53

Ti assicuro che i miei libri del liceo, anni 1973/1979, c’era ancora il concetto di funzione plurivoca. Probabilmente in ambito superiore le cose erano già cambiate, ma come sai benissimo, per raggiungere i livelli più bassi i tempi si dilatano.
Sara Gobbato

732 chilometri senza neppure un autogrill
Avatar utente
@melia
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 12443 di 21976
Iscritto il: 16/06/2008, 18:02
Località: Padova

Re: Qualcosa di Cantor

Messaggioda fausto1947 » 04/01/2021, 10:03

perché é stato necessario giungere a questo cambiamento?
Avatar utente
fausto1947
New Member
New Member
 
Messaggio: 31 di 83
Iscritto il: 08/07/2019, 08:39
Località: Lodi

Re: Qualcosa di Cantor

Messaggioda @melia » 04/01/2021, 12:30

Come hai potuto leggere da solàal, la cosa era già sviluppata ai livelli superiori, ben prima dei nostri anni '60 e '70. Poi, con l'avvento del calcolo automatico, la modifica è diventata impellente.
Sara Gobbato

732 chilometri senza neppure un autogrill
Avatar utente
@melia
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 12444 di 21976
Iscritto il: 16/06/2008, 18:02
Località: Padova


Torna a Generale

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite