Buon giorno,
Riporto una parte di una relazione che stò leggendo
"2) Secondo fatto incredibile: i punti dello spazio sono tanti quanti quelli di un segmento piccolo a piacere.
Georg Cantor fu cosi fortemente impressionato da questa sua scoperta da scrivere a Dedekind, comunicandogliela: «Lo vedo, ma non lo credo!». La ragione mi dice di si, ma il fatto mi appare incredibile! La scoperta sconvolgente consisteva nel dimostrare che un quadrato, e cosi pure un cubo, ha tanti punti quanti il suo lato.
a) Un quadrato Q di lato uno (una unità di misura, non importa quale) ha tanti punti quanto il suo lato.
Possiamo fissare un punto P del quadrato assegnando le sue distanze x dal lato verticale, y dal lato orizzontale (cioè le sue ‘coordinate’). Nel nostro caso, x e y sono due numeri compresi tra 0 e 1. I quattro vertici del quadrato hanno coordinate (girando nel senso delle lancette dell’orologio a partire dal vertice a sinistra in basso):
(0,0) ; (0,1) ; (1,1) ; (1,0)
(qui dovrebbero esserci gli assi cartesiani con un punto P(x,y) che il copia incolla non mi ha riportato)
x e y sono numeri che esprimono misure, e precisamente misure rispetto al lato preso come «metro», di segmenti non maggiori di esso; sono allora numeri compresi tra 0 e 1. I numeri che esprimono misure, quelli ‘razionali’ e quelli non razionali (irrazionali) vengono chiamati nel loro insieme ‘numeri reali’. Perciò, i numeri che adesso ci interessano, misure di segmenti non superiori al lato del quadrato Q preso come metro, sono i numeri reali compresi tra 0 e 1. Un numero siffatto, diciamo t, può essere espresso nella forma:
t=0,t1t2t3…………tn…
dove le ti sono cifre comprese tra 0 e 9 (supponiamo di usare la ordinaria numerazione decimale). I casi sono due.
— Il numero t è razionale (è una frazione, “rapporto”, ratio in latino, di due interi). Allora, da un certo n in poi o le cifre sono tutte zero, o si ripetono in «periodi» uguali;
— Il numero t è irrazionale; questo accade quando le infinite cifre non sono tutte zero da un certo punto in poi, e non si ripetono periodicamente.
Per esempio radice di 2 , che esprime il rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato, è irrazionale (è a infinite cifre, e non è periodico); cosi il famoso pi greco=3,14159... (che le misure non fossero tutte date da rapporti di interi, fu grande scoperta dei greci).
I numeri pari, e cosi quelli dispari, sono tanti quanti tutti gli interi (naturali) (la corrispondenza n 2n tra interi e pari è biunivoca, ecc). Possiamo perciò scrivere le coordinate x, y di un punto P nella forma:
x = 0, a1 a3 a5…
y = 0, a2 a4 a6…
(x, y rappresentano cosi numeri reali, razionali o non, compresi tra 0 e 1).
Perciò un punto P del quadrato di lato 1 può essere identificato con la coppia (ordinata) di numeri x, y sopra scritti, sue coordinate. (Attenzione, ‘coppia ordinata’; l’ordine, cioè la successione, ha una importanza decisiva: i punti (1,0) e (0,1) sono agli estremi opposti!)"
E qui comincio a non capire.
Ad x sono stati attribuiti dei pedici dispari ed a y dei pedici pari.
Ora, cosa identificano i pedici pari ed i pedici dispari? Forse i pedici dispari identificano numeri dispari ed i pari numeri pari? Oppure la posizione dopo la virgola per cui a1 identifica i decimi, a3 millesimi, a5 contimillesimi e di conseguenza a2 i centisimi e così via? Oppure sono stati messi così solo per diversificarli ma a1 e a2 sono decimi, a3 e a4 centesimi, ecc.?
Cari signori, immergersi in questo campo diventa sempre più difficile e complicato, soprattutto quando la tua mente non è più agile e fresca come da ragazzo.
Fausto