[Soft-question] Quando studiare topologia?

[marco2132k]

Mi piacerebbe (perché non ho nulla da fare ) sentire il parere di persone che si ritengono a proprio agio con la topologia (point-set) riguardo alla domanda: è possibile studiare topologia con conoscenze minime di "analisi" e algebra lineare?

Una persona, per avere "conoscenze minime" di algebra lineare, deve saper moltiplicare due matrici, e giusto essere a conoscenza della definizione di spazio vettoriale. Ma anche no, quest'ultima. In analisi, considero solo il precalcolo come punto di partenza (una definizione rigorosa dei reali, magari assiomatica; e la teoria degli insiemi, ecc.; ma non, ad esempio, il calcolo integrale, nemmeno in una sola variabile; o i gli anelli di polinomi) Questa persona non dovrebbe avere, idealmente, nessuna conoscenza della geometria fatta in \( R^3 \) (vd. seguito).

Ciò che mi infastidisce della topologia è la sua sorta di ecletticità; la trovo difficile da spiegare. Mentre è possibile apprezzare costruzioni "coi gruppi" o "con gli spazi vettoriali" rimanendo all'interno di "algebra", sembra meno ovvio¹ dare una giustificazione a fatti topologici senza un apporto abbastanza pesante di esempi concreti. Non è dovuto all'astrazione: anche la teoria spicciola dei gruppi lo è. (Vd. butterfly lemma o quarto teorema di isomorfismo, per un'esempio a mio favore di cosa astratta, totalmente algebrica, ma "con un senso al di fuori di esempi concreti").

Quindi, quando ha senso studiare topologia? Il suo "senso astratto" è nascosto dai giocattoli che le sono aggiunti (penso ad esempio alla geometria che si può fare in \( \mathbb{R}^3 \), con la norma; o agli spazi vettoriali topologici; alle varietà, anche se in merito non so nulla se non la definizione di varietà topologica, che sembra di fatto inutile senza l'analisi, ecc.), al punto che la cosa più sana è studiare una sorta di "topologia pura", dandoci un senso geometrico? È "solo impalcatura", che ha lo scopo di dare una nozione di continuità, però sempre tra strutture più complesse di uno spazio topologico?

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Note

1. Ok, conosco di nome tipo tre libri di topologia, e ne ho letto parti non risibili di uno soltanto. Ma l'approccio non sembra mai dare dignità (la domanda mi è venuta riprendendo il Manetti, che è l'unico dei tre che pare dar un senso "astratto" alla materia) alle definizioni di per sé; o ritenendole una diretta conseguenza di un'astrazione difficile da usare (definizione di spazio e di continuità con gli intorni [Hausdorff], da cui si ricava la caratterizzazione classica; che assume appunto il titolo di semplificazione sintattica, ma non concettuale); o non giustificandole affatto, a meno di una difesa futura in guisa di supporto per costruzioni o analitiche o algebriche (GT, SVT, varietà, ecc.). ↑

[gugo82]

Non ho capito cosa vuoi.

Per studiare degnamente Topologia servono pochi prerequisiti: basta la teoria ingenua degli insiemi, in fondo.
Qualcosa di Analisi I (topologia della retta reale, successioni e sottosuccessioni, definizione di funzioni continue) è necessaria per dare senso concreto a qualche nozione ed a costruire qualche esempio/controesempio.

Per quanto riguarda il fatto che “ti sembra difficile da spiegare”, beh, è solo questione di poca dimestichezza.

[Luca.Lussardi]

Benchè sia vero che non ti servono particolari prerequisiti lo studio della topologia generale non è facile e penso che sia giusto rimandarlo al termine di un corso di laurea triennale, li trovo che ci sia la maturità giusta personalmente. Questo è perfettamente in linea con il percorso storico che la stessa topologia ha avuto. Infatti, essa, al di là delle idee combinatoriche di Eulero, per come la conosciamo oggi ha avuto origine dall'esigenza di sistemazione rigorosa dell'analisi funzionale lineare, della quale per altro è uno dei fondamenti concettuali, grazie anche alla creazione del linguaggio unificante della teoria degli insiemi.

[gugo82]

Mah… Addirittura alla fine della triennale?!?
Dalle mie parti Topologia Generale era un corso del secondo anno, la parte iniziale di Geometria II.

[Luca.Lussardi]

Si, anche io l'ho studiata all'inizio di geometria 2, ho maturato l'idea che sia meglio averla al terzo anno durante il periodo in cui sono stato assistente proprio di topologia generale per matematici, mi sembra che non ci sia ancora la maturità giusta. Che poi tecnicamente richieda pressochè niente come requisito è vero, d'altra parte anche la teoria delle categorie per esempio non richiede particolari requisiti ma farla nei primi anni di studio diventa complicato.

[otta96]

Ciò che mi infastidisce della topologia è la sua sorta di ecletticità; la trovo difficile da spiegare. Mentre è possibile apprezzare costruzioni "coi gruppi" o "con gli spazi vettoriali" rimanendo all'interno di "algebra", sembra meno ovvio dare una giustificazione a fatti topologici senza un apporto abbastanza pesante di esempi concreti.

Cioè, non ho capito, ciò che ti dà fastidio della topologia è che senza tanti esempi non si capisce bene?
Non mi sembra affatto una cosa negativa, anzi durante l'apprendimento di ogni branca della matematica è indispensabile una vasta gamma di esempi per una buona comprensione della materia per non sfociare in una cosa troppo astratta che non serve a nulla, fosse per me la metà di un corso di topologia sarebbe composto da esempi.
Per quanto riguarda i prerequisiti come ti hanno già detto gli altri in linea di principio basterebbe dei rudimenti di teoria degli insiemi (poi anche lì bisogna vedere perché a seconda di quanto uno vuole spingersi c'è bisogno di avere una conoscenza di teoria degli insiemi non indifferente), il punto è che la realtà non segue le linee di principio, nel senso che se non hai mai visto nulla di matematica e ti metti a studiare topologia non capisci nulla perché è richiesta anche una certa maturità matematica per studiarla.
Poi non guasta assolutamente una solida conoscenza dell'analisi di base (basta analisi 1) per cogliere il senso di ciò che si sta facendo, in particolare che tutto ciò ha è qualcosa di utile. Di algebra lineare in realtà non è che serva molto, diciamo praticamente nulla, chiaramente a meno che non ti vuoi mettere a studiare i gruppi di matrici dal punto di vista topologico.
Anche da me topologia è messa nella prima parte del secondo anno e anche secondo me quando ci si arriva manca un pizzico di maturità matematica alla gran parte degli studenti, ma io invece che posticiparla al terzo anno comincerei a somministrarla dal primo anno (tra l'altro da quello che so era così che si faceva un tempo), dentro ad analisi 1 (chiaramente solo in un corso di laurea in matematica), ad esempio adotterei come testo di riferimento il Prodi.

[marco2132k]

Allora, inizio dalla risposta di @otta96, perché sussume le altre, specialmente in ciò che speravo non venisse frainteso. Sì, non si capisce molto cosa io stia chiedendo

Cioè, non ho capito, ciò che ti dà fastidio della topologia è che senza tanti esempi non si capisce bene?

No.

Questi due quote indirizzano meglio la mia domanda:

[...] se non hai mai visto nulla di matematica e ti metti a studiare topologia non capisci nulla perché è richiesta anche una certa maturità matematica per studiarla.
Poi non guasta assolutamente una solida conoscenza dell'analisi di base (basta analisi 1) per cogliere il senso di ciò che si sta facendo, in particolare che tutto ciò ha è qualcosa di utile. Di algebra lineare in realtà non è che serva molto, diciamo praticamente nulla, chiaramente a meno che non ti vuoi mettere a studiare i gruppi di matrici dal punto di vista topologico.

penso che sia giusto rimandarlo al termine di un corso di laurea triennale, li trovo che ci sia la maturità giusta personalmente. Questo è perfettamente in linea con il percorso storico che la stessa topologia ha avuto. Infatti, essa, al di là delle idee combinatoriche di Eulero, per come la conosciamo oggi ha avuto origine dall'esigenza di sistemazione rigorosa dell'analisi funzionale lineare, della quale per altro è uno dei fondamenti concettuali, grazie anche alla creazione del linguaggio unificante della teoria degli insiemi.

Mi stavo in pratica chiedendo se avesse senso la topologia "da sola". Con questo non intendo scollegata da esempi: intendo proprio astratta 1) dalle costruzioni che vengono portate avanti con il suo linguaggio; 2) dagli oggetti matematici per cui la topologia fornisce una generalizzazione. Ad esempio @Luca.Lussardi, nella sua risposta, lascia intende la topologia solo come un layer di supporto per "altre cose".

Questo è uno status diverso da quello dell'algebra (lineare, o in generale): nessuno studia gli spazi vettoriali (magari gli ingegneri, ma...) solo come una generalizzazione dello spazio dei vettori liberi, e nemmeno come aid all'analisi funzionale. Tutta l'algebra lineare¹ ha un senso proprio che esula dalla generalizzazione che di fatto è storicamente di concetti geometrici elementari. In altre parole, domando: mentre l'algebra lineare, e altra algebra, potrebbero essere direttamente collegate al mondo fisico (la prima, banalizzando perché di fatto è un sottoinsieme della seconda, come "insieme di fatti geometrici", la seconda come "insieme di relazioni [associatività, commutatività, isomorfismo] tra cose"), la topologia cos'è? Si può interpretare direttamente alla luce 1) dello spazio o 2) di relazioni come quelle descritte sopra?

Tra queste due modalità di vedo una distinzione non indifferente: venitemi a dire che ZF ha un significato intrinseco, e non è solo in insieme amorfo di assiomi che permettano implementare altra matematica.

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Note

1. Non intendo nulla che abbia a che fare con il significato che questo termine ha in ambito anglofono; ho in mente lo studio dei teoremi di struttura. ↑

[j18eos]

@marco2132k Non ho capìto un intorno tubolare di ciò che volevi chiedere; per cui: non addensare troppo i tuoi pensieri in un punto generico, 'ché poi diventa difficile separare alla Hausdorff idee diverse; prova a compattificare il tutto con un punto chiaro e preciso; cerca di dare una connessione lineare al tuo discorso, utilizzando magari una successione di punti chiave e\o sollevando le idee di base dalle altre.

[feddy]

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

@j18eos stupenda questa

[marco2132k]

Allora

Era da un po' che volevo chiedere una cosa del genere. L'idea mi è venuta principalmente leggendo 1) questo post e 2) tipo pagina uno del Manetti. La domanda è semplice: certi vedono la topologia solo come supporto ad altra matematica, arrivando a dire che la definizione di continuità con gli aperti - e la stessa definizione di spazio - non hanno nulla di intuitivo, ma sono solo semplificazioni della definizione "veramente intuitiva", quella Prodi-style con gli intorni. Altri, come ad esempio chi ha scritto quella risposta su MO (e @j18eos, può essere?), non sembrano condividere ciò: si può fare "topologia pura": quelle costruzioni con gli aperti hanno un senso come lo ha la geometria euclidea.

Chi ha ragione?