[Soft-question] Quando studiare topologia?

[j18eos]

@feddy

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In realtà, volevo scrivere tutta un'altra cosa, meno tecnica e più sintetica; ma per il regolamento interno non ho potuto scriverla. Però sono comunque libero di pensarla.

@marco2132k Sinceramente, con tutto che la topologia è un mio strumento di "lavoro matematico": io l'ho sempre vista sia come da supporto per altri parti della matematica¹ ma anche come settore della matematica interessante di suo².

Venendo alla domanda:

Quando insegnare topologia?

Dipende, ad esempio: in parte, si potrebbe insegnare come parte di analisi matematica 1 nei corsi di laurea dove serve (matematica, fisica, ed alcune lauree ingegneristiche); poi si potrebbe insegnare buona parte (fino alle definizione di connessione e compattezza, incluse le prime proprietà) in un corso al secondo anno; infine, le connessioni, successioni e compattezza, compattificazioni, gruppo fondamentale in un ultimo corso. I.M.H.O.

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Note

1. Prova a studiare geometria algebrica od analisi funzionale senza le opportune nozioni di topologia. ↑
2. Le diverse teorie omotopiche e (co)omologiche, le K-teorie e.o. ↑

[Fioravante Patrone]

Esperienza personale.

Io me l'ero studiata per i fatti miei alla fine del liceo, assieme ad algebra.

Avevo usato il capitolo apposito della "Enciclopedia Feltrinelli Fischer" (vol. 1), poi dopo (credo fossi già all'università, probabilmente al primo anno) mi son comprato il Kelley.

Algebra me l'ero studiata leggendomi più o meno la prima metà di "Istituzioni di algebra astratta" di Lucio Lombardo Radice.


Studi che mi han fatto un gran bene

[vict85]

Secondo me dipende molto da come la studi. Negli ultimi anni dell'università (ora di fatto non mi occupo più di matematica) mi ero fatto l'opinione che il metodo di insegnamento dell'universit๠fosse piuttosto inefficiente e poco consono alla matematica: durante i miei studi mi sono trovato spesso a dare nuova luce ad argomenti di corsi passati. Non saprei che metodologia proporre, non sono un pedagogista, ma penso che i corsi dovrebbero avere una maggiore integrazione l'uno con l'altro, e andrebbero ripresi da un punto di vista superiore più avanti nel corso di studi. Insomma, avrei trovato molto interessante rivedere gli argomenti di analisi matematica I con gli strumenti del terzo anno o addirittura della magistrale. Ma ovviamente nessuno lo fa perché gli studenti si ribellerebbero (quell'esame lo hanno già dato). La stessa cosa vale per algebra lineare per esempio. Ricordo di aver appreso dell'algebra lineare persino durante la tesi magistrale (che era in geometria differenziale).

Personalmente trovo topologia generale molto bella e ritengo che andrebbe fatta insieme ad analisi matematica I. Alcuni argomenti di topologia riducono a poche righe molte dimostrazioni piuttosto tecniche di analisi. Allo stesso tempo però è utile vedere la dimostrazione analitica. Per me si dovrebbe superare l'idea che gli argomenti matematici partono da degli assiomi ben definiti e fissati nel tempo e proseguono per proposizioni e teoremi che possiedono una dimostrazione canonica. Insomma, spesso si hanno assiomatizzazioni equivalenti (o quasi equivalenti) e dimostrazioni differenti. Oppure qualcosa di basilare in un approccio, diventa dipendente da qualche altra teoria in un'altro approccio.

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Note

1. Mi riferisco al fatto di avere corsi ben distinti, fatti di lezioni frontali (più qualche esercitazione), con un singolo esame alla fine. ↑

[Indrjo Dedej]

Io me l'ero studiata per i fatti miei alla fine del liceo, assieme ad algebra.
[...]
Studi che mi han fatto un gran bene.

Non ti piace come risposta? Come in tante altre cose non è necessario avere delle conoscenze pregresse per farle. Certo ti aiutano, ma non sono vitali.

[marco2132k]

Intanto grazie a chi ha voluto scrivere qualcosa!

Poi, in realtà, il "quando studiare topologia" sarebbe stato meglio fosse stato scritto come "come studiare topologia", nel senso che, come ho detto, mi interessava capire il punto di vista con cui la gente guarda a questo insieme di assiomi.

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In effetti sì, è vero: secondo me fa bene studiare certe astrazioni fin da subito: si procede con una coscienza più sviluppata (e poi si impara a fare esempi). (In particolare in analisi, che è un casino di suo Ad esempio trovo un po' rischioso il modo di introdurla usato con gli ingegneri [e non solo], il buttare lì la definizione di punto di accumulazione e di intorno con l'unico scopo di arrivare a fare limiti; si può fare, ma alla fine si rimane con una visione molto ristretta, e di un solo caso particolare).

[j18eos]

Buon'anima della mia relatrice di tesi triennale affermava che:"la categoria degli spazi topologici è la categoria più anarchica che io conosca." Così come lo studio della topologia può essere svolto in maniera fruttuoso, nei modi leciti e corretti che una persona possa ritenere più opportuni.

Quindi devi decidere te come studiarla, dopo aver consultato diversi testi di topologia generale.