Re: *coff coff* teoria delle categorie *coff coff*

Messaggioda Martino » 19/11/2019, 19:12

Visto che so qualcosa di teoria delle categorie, penso che la mia opinione possa essere utile. Io adoro la teoria delle categorie, è fenomenale, mi ha aperto un mondo. Inoltre uno si accorge subito che è inevitabile, perché ci sono concetti canonici che saltano fuori in molte teorie. Uno può creare una categoria e chiedersi chi sono i prodotti, i coprodotti, i limiti diretti, i limiti inversi, e saltano fuori oggetti nuovi, praticamente se introduci un nuovo oggetto matematico la teoria delle categorie ti fornisce di una montagna di teoria già gratis.

Ora, veniamo al "ma" della faccenda. Io non sono un categorista, qualsiasi cosa questo voglia dire - tra parentesi mi scuso se userò questo termine ma è per capirci: diciamo che un "categorista" è una persona a cui piace la teoria delle categorie e la vuole usare molto spesso, e in molti casi vuole farci ricerca sopra. Bene, dicevo, io non sono un categorista, nonostante abbia sempre amato la teoria (come detto sopra), e penso che una delle prime volte in cui mi sono accorto che non sono un categorista è stato ascoltando Olivia Caramello all'università di Padova, nello specifico ci sono testi e video. Vorrei attenermi appunto all'espressione "essere un categorista" o "non essere un categorista" appunto perché la teoria non è né giusta né sbagliata, è una teoria, un modo di porsi, un approccio. Può essere che si riveli rivoluzionario? Sì, ma non sto parlando di questo al momento. Sto analizzando la mia reazione a seminari o articoli tipo quelli che ho linkato. Dicevo, nel 2010 ascoltavo Olivia parlare (qui non sto giudicando il suo merito, che comunque considero molto alto) e mi chiedevo come si potesse conciliare una teoria tanto generale con ogni singola teoria particolare. Cioè, mi sembra più che ovvio che le diverse teorie geometriche (algebrica, differenziale, etc.), la topologia, le diverse teorie algebriche (gruppi, anelli, algebre, combinatoria, teoria dei numeri algebrica etc.), le teorie analitiche (analisi reale, analisi complessa, analisi funzionale, teoria dei numeri analitica, etc.) sono teorie tra loro diverse. Da qui non ci si scappa.

I categoristi con cui ho parlato spesso sembrano credere che si possa creare una teoria che unifichi tutta la matematica (cf. i link sopra). Sarebbe fantastico, e sarei il primo ad esserne entusiasta. La mia personale posizione è che una tale teoria è certamente possibile fino a un certo punto, unificherà la matematica fino a certi limiti non oltrepassabili. Una "teoria del tutto" non mi sembra plausibile. E' certamente affascinante, e merita di essere studiata, ma secondo me è sbagliato imporla come se la teoria delle categorie fosse più fondamentale della teoria degli insiemi (sembra uno scherzo, ma c'è chi ne è convinto). E' ovvio che la teoria delle categorie viene dopo la teoria degli insiemi perché uno introduce le categorie per "generalizzare" gli insiemi e non viceversa. Quello che voglio dire è che siamo ben lontani dal risolvere tutto usando solo diagrammi commutativi. Potrei dare esempi ma si scenderebbe nel tecnico. Specialmente quando uno analizza strutture finite si rende conto che si arriva ad un certo punto in cui bisogna "sporcarsi le mani", fare i "contacci", quelli sono inevitabili. E i contacci dipendono fortemente dalla teoria specifica in cui uno si trova.

Uno potrebbe dirmi che sono pessimista, che una teoria del tutto va certamente studiata e sviluppata, ma certo! Concordo assolutamente. Ma non è un lavoro che voglio fare io, lo lascio fare ad altri (ovvero, "non sono un categorista") perché per me la teoria delle categorie è un (potentissimo) linguaggio, non la so usare per risolvere problemi concreti (e spero davvero che qualcuno invece ci riesca!). Non voglio scendere nel tecnico, ma farò un esempio che darà l'idea.

(*) Se ho un gruppo $G$ voglio calcolare il suo gruppo degli automorfismi $Aut(G)$, cioè il gruppo degli isomorfismi $G to G$.

La teoria delle categorie mi insegna che la parola "automorfismo" si può adattare in contesti diversi, e quindi il problema (*) in realtà è una famiglia infinita di problemi, dove invece di "gruppo" appare l'oggetto in esame $X$, di cui si può facilmente definire un "automorfismo" (morfismo $X to X$ che ammette inverso), e probabilmente si può vedere $Aut(X)$ come un qualche tipo di oggetto strutturato. Meraviglioso! Ma come mi aiuta questo a risolvere il problema (*)? Facciamo due diagrammi commutativi, studiamo la funtorialità del fenomeno, pensiamo al lemma di Yoneda, ok ma e poi? La teoria delle categorie mi aiuta a formulare problemi canonicamente legati a (*) ma mi aiuta veramente a risolverlo? Non voglio dire che la risposta sia no, voglio dire che nessuno mi ha mai convinto del contrario. Per fare un esempio di come le cose escono dal nostro controllo, se $G$ è il gruppo simmetrico $S_n$ allora $Aut(S_n)$ è isomorfo a $S_n$ (bello, canonico, no?) e possiamo pure dire che tutti gli automorfismi sono del tipo $x to g^{-1}xg$ con $g in S_n$ fissato, tranne quando $n=2$ e $n=6$. Cioè $Aut(S_2)$ non è isomorfo a $S_2$ e $Aut(S_6)$ non è isomorfo a $S_6$. Passi il $n=2$ che è un caso talmente piccolo che non dà fastidio, ma quel $n=6$ mi ha sempre scioccato, ed è un altro motivo per cui non sono un categorista. Potrebbe mai una teoria del tutto saltare un numero così, come se fosse più brutto degli altri? Come fanno i diagrammi commutativi a spiegarmi l'esistenza dell'eccezione $n=6$?

Per riassumere, la teoria delle categorie è essenziale per avere una montagna di teoria gratis solo dalla definizione degli oggetti. Purtroppo però quando si vanno a studiare questi oggetti nel dettaglio non si possono evitare i contacci troppo a lungo.
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Re: *coff coff* teoria delle categorie *coff coff*

Messaggioda otta96 » 19/11/2019, 21:23

Martino ha scritto:Per riassumere, la teoria delle categorie è essenziale per avere una montagna di teoria gratis solo dalla definizione degli oggetti. Purtroppo però quando si vanno a studiare questi oggetti nel dettaglio non si possono evitare i contacci troppo a lungo.

Quoto totalmente.
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Re: *coff coff* teoria delle categorie *coff coff*

Messaggioda gabriella127 » 19/11/2019, 22:11

@ Indrjo Comunque voglio ribadirti che la tua idea di far emergere i concetti della teoria della categorie da cose ordinarie, tipo prodotto cartesiano, funzioni, classi di equivalenza, kernel è molto carina.
Sarebbe parecchio user friendly per chi ci si accosta per la prima volta e potrebbe spaventarsi per l'eccessiva astrazione.
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Re: *coff coff* teoria delle categorie *coff coff*

Messaggioda gabriella127 » 19/11/2019, 23:02

@ Martino, Otta Non posso esprimermi sulla teoria delle categorie perché non la conosco. Ma istintivamente tendo a essere d'accordo con voi che la pretesa di unificare la matematica sotto qualche teoria sovraordinata sia poco fondata.
E forse anche una pretesa con un vizio idealistico di fondo (idealistico in senso filosofico, volere ricondurre la realtà molteplice a un pensiero unificante, non so).
Ma mi viene in mente che molte conquiste nella scienza si sono ottenute dal porsi obiettivi troppo ambiziosi, anche irrealistici, anche sbagliati, ma dal 'pensare in grande'. Proprio di età più 'auree', più fiduciose ed entusiaste della nostra (anche se adesso si vedono cose in senso contrario, più 'visionarie', con l'informatica, l'intelligenza artificiale etc., ma è un discorso a parte). Il novecento è stato il secolo della crisi, della frammentazione, della specializzazione, del frantumarsi dell'Io e del 'solo questo possiamo dire, ciò che non siamo, ciò che non vogliamo' (Montale).
Forse la matematica ha fatto eccezione perché il novecento è stato il secolo delle generalizzazioni. E forse la scienza in generale.
Scusate la filosofia da strapazzo.

Quindi è probabile che questo tentativo, forse velleitario, dei categoristi porti cose buone.
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Re: *coff coff* teoria delle categorie *coff coff*

Messaggioda gugo82 » 20/11/2019, 01:25

@ Indrjo: Dalle mie parti si dice Lassa fa’ a Marònna!
Mettici qualche esempio tratto dall’Analisi (dopotutto, Grothendieck era un analista funzionale).

@ Martino: Condivido.
Da profano, di gran lunga più profano di te, ovviamente.
Se posso permettermi un’analogia (e correggimi pure se non la trovi adeguata), sembra il classico dualismo tra scrittore e traduttore. Ci sono scrittori che riescono a comporre meraviglie nella propria lingua, ma non riescono a rendere ciò che hanno scritto in altre; ci sono traduttori che conoscono le chiavi per esprimere capolavori in dieci lingue diverse, ma che di proprio non hanno scritto mai nulla. Entrambi, grandi scrittori ed ottimi traduttori, sono necessari alla Letteratura; e ridurre la comunicazione letteraria ad uno solo di tali aspetti è impensabile (e sbagliato, ed inaudito).

@ gabriella127 (ed altri): Nessuno ha mai pensato di contestare la voglia di “pensare in grande”.
Tuttavia, è capitato che chi “pensasse in grande” fosse talmente piccolo da pretendere di imporre il proprio pensiero come l’unico possibile ed accettabile, da denigrare chi non era d’accordo insinuando pubblicamente la sua “inferiorità” o “deformazione” culturale, la sua “inadeguatezza” a svolgere attività professionali, la sua “pregiudizialità” nello sminuire la CT (ma quando mai!?!) e la sua “volontà di estromettere” dal forum chiunque parli di CT.
Ecco, questi atteggiamenti miserabili e non la CT hanno causato ciò di cui si discettava ieri con i soliti noti ella stanza Geometria ed Algebra lineare, in coda a questo thread (che ha avuto l’unico merito di far intavolare, e finalmente, un discorso serio su come queste cose possano essere proposte).


P.S.: Ho dato più di uno sguardo al testo introduttivo di CT, segnalato più volte su queste pagine, quello che comincia con un bello schema di come si prepari la torta meringata al limone…
Mi sono ricordato di un mio studente dell’università, che pretendeva di imparare quel po’ di Analisi che viene illustrata nel corso di Analisi I (definizioni, teoremi, dimostrazioni ed esercizi) mettendosi a fare schemi simili.
Ha abbandonato.
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Re: *coff coff* teoria delle categorie *coff coff*

Messaggioda gabriella127 » 20/11/2019, 02:00

@Gugo. Ma sì , gugo, figurati, ho visto perfettamente quello che hai visto tu negli atteggiamenti, e sono d'accordo con te che erano insopportabili e denotavano una mentalità 'piccola piccola', nun se reggevano. (Non Indrjo, of course)

Mi riferivo a Olivia Caramello, citata da Martino, lontana da noi e dalle nostre beghe de' noantri, e a coloro che studiano queste cose e sono separati da noi dall'oceano.
Nota bene: le beghe de' noantri non le fai tu, ma i categoristi de' noantri ( Indrjo non c'entra niente, anzi, ha solo diciotto anni, credo, per cui: chapeaux!).

Indrjo ha molti meriti, non addossiamogli colpe di categoristi che non si sopportano.
Lasciamolo lavorare, che ha intelligenza da vendere.
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Re: *coff coff* teoria delle categorie *coff coff*

Messaggioda solaàl » 20/11/2019, 02:25

“pregiudizialità” nello sminuire la CT (ma quando mai!?!)

Ho dato più di uno sguardo al testo introduttivo di CT, segnalato più volte su queste pagine, quello che comincia con un bello schema di come si prepari la torta meringata al limone…
Mi sono ricordato di un mio studente dell’università, che pretendeva di imparare quel po’ di Analisi che viene illustrata nel corso di Analisi I (definizioni, teoremi, dimostrazioni ed esercizi) mettendosi a fare schemi simili.
Ha abbandonato.

Stai paragonando un libro (che non è un libro di matematica: credo che ti è stato consigliato lo stesso libro che è stato consigliato a me: https://arxiv.org/abs/1612.09375 commenta su questo, non su un libro divulgativo...) alla carriera fallimentare di un tuo ex-studente. Lo stai facendo in maniera polite, ma...

Cos'è, questa, se non una analogia, non-educated (nel tuo senso, che ho trovato una risposta un po' arrogante e verbosa...), tra il fallimento dell'uno e dell'altra, una allusione, che qualcuno potrebbe trovare fastidiosa? Verso tante persone vedo che rispondi quasi prendendole in giro.
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Re: *coff coff* teoria delle categorie *coff coff*

Messaggioda solaàl » 20/11/2019, 03:10

Mettici qualche esempio tratto dall’Analisi (dopotutto, Grothendieck era un analista funzionale).

A quanto ho capito leggendo qua e là, mi sembra che il problema sia che non si possono introdurre degli esempi che vengono dall'analisi all'inizio, poco dopo la definizione di categoria; perché l'analisi parla di oggetti che è difficile rendere in maniera categoriale, è una teoria "difficile" (e chi la fa, solitamente è un matematico con abilità di problem solving a uno che fa algebra o logica, che tende più al costuire teorie). Quindi ha bisogno di oggetti molto raffinati. Ma introducendo il linguaggio giusto si può fare

- teoria della misura http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/23/12/23-12abs.html
- teoria della misura senza assioma della scelta https://www.andrew.cmu.edu/user/awodey/ ... ackson.pdf (ho letto che la definizione di fascio, che è quella che definisce i "topos" dell'altro thread e di Olivia Caramello, l'ha data un analista, Jean Leray. Una brava persona!)
- spazi Lp https://www.maths.ed.ac.uk/~tl/cambridg ... 4_talk.pdf
- analisi stocastica (?) https://arxiv.org/abs/1808.09898
- teoria della probabilità https://www.chrisstucchio.com/blog_medi ... y_giry.pdf
- analisi funzionale https://bookstore.ams.org/mmono-233

Chiaramente non sono in grado di spiegarti cosa c'è scritto dentro, non subito. Dai tempo anche a me.
Ma se ti fidi che la matematica in questi lavori sia corretta (mi sembra che venga da dei ricercatori abbastanza bravi), c'è qualcosa da cui studiare, che ha dei nomi e delle definizioni a cui puoi, se vuoi, muovere delle critiche. E spero ne farai: si cresce attraverso le critiche.

Magari è anche un buon modo per te per collaborare a questo progetto che sta nascendo? Non c'è ragione tu ne stia fuori, puoi fare domande sulla teoria o tradurre esercizi in questo linguaggio e proporli.
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Re: *coff coff* teoria delle categorie *coff coff*

Messaggioda gugo82 » 20/11/2019, 08:22

@ solaàl:
Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
solaàl ha scritto:
Ho dato più di uno sguardo al testo introduttivo di CT, segnalato più volte su queste pagine, quello che comincia con un bello schema di come si prepari la torta meringata al limone…
Mi sono ricordato di un mio studente dell’università, che pretendeva di imparare quel po’ di Analisi che viene illustrata nel corso di Analisi I (definizioni, teoremi, dimostrazioni ed esercizi) mettendosi a fare schemi simili.
Ha abbandonato.

Cos'è, questa, se non una analogia, non-educated (nel tuo senso, che ho trovato una risposta un po' arrogante e verbosa...), tra il fallimento dell'uno e dell'altra, una allusione, che qualcuno potrebbe trovare fastidiosa? Verso tante persone vedo che rispondi quasi prendendole in giro.

È semplicemente una considerazione su quanto sia sbagliato credere che tutti possano fare in uno stesso modo, o che tutto si possa fare allo stesso modo, “ideologia” che criticavo qui:
gugo82 ha scritto:@ gabriella127 (ed altri): Nessuno ha mai pensato di contestare la voglia di “pensare in grande”.
Tuttavia, è capitato che chi “pensasse in grande” fosse talmente piccolo da pretendere di imporre il proprio pensiero come l’unico possibile ed accettabile […]



P.S.: Non mi risulta di averti dato dell’arrogante altrove, né di averti mai rivolto apprezzamenti sprezzanti.
Quindi certe parole farebbero meglio a rimanerti nella tastiera… Please, be polite and behave.
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Re: *coff coff* teoria delle categorie *coff coff*

Messaggioda solaàl » 20/11/2019, 11:38

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.
È semplicemente una considerazione su quanto sia sbagliato credere che tutti possano fare in uno stesso modo

Credo che se avessi voluto dire questo sarebbe bastato dire questo, alludere al fatto che leggere un libro ti ha ricordato uno studente dalla carriera fallimentare è un po' un'offesa al libro (e a chi lo legge), no? E un libro che di matematica non ha nulla, poi... è un po' capzioso, sembra quasi tu scelga degli argomenti che in apparenza ti danno ragione...

Non mi risulta di averti dato dell’arrogante altrove, né di averti mai rivolto apprezzamenti sprezzanti.

Beh, insomma... hai cercato di spiegarmi l'inglese quando l'osservazione che ti avevo fatto era una completamnte diversa :) Comunque perché dovrei prendermela? Succede di non capirsi. Ma... Perché ogni volta che qualcuno ti ha dato una risposta che entra nel merito l'hai ignorata e hai preferito concentrarti su altro (proprio sulle cose che sai rischiano di fare da miccia a un litigio)? Vedo che lo fai spesso...
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