Ricavare gli autovettori dagli autovalori!

[Bokonon]

Nel caso vi fosse sfuggito, recentemente è stata provata una nuova identità che mette in relazione i quadrati delle componenti degli autovettori con gli autovalori di una matrice hermitiana e gli autovalori (e anche i determinanti) dei suoi minori.
Nella sostanza, è possibile ricavare gli autovettori calcolando "solamente" autovalori e determinanti.

L'identità è stata prima osservata empiricamente nel tentativo di risolvere un problema di meccanica quantistica e poi dimostrata da Terence Tao (noto matematico a cui i fisici si erano rivolti).
La storia e la reference all'articolo sono qua:
https://www.quantamagazine.org/neutrino ... -20191113/

[Mathita]

Che figata! Ora bisognerebbe analizzare il costo computazionale che mi pare tutt'altro che trascurabile, dopotutto già il calcolo degli autovalori di una matrice non è poi così ovvio. La relazione è molto elegante e compatta e, sebbene si riferisca a un caso particolare, può avere gigantesche ripercussioni nell'analisi numerica: vedremo.

Più che altro mi sorprende (ancora una volta) T. Tao che riesce a trovare più dimostrazioni indipendenti in due ore.

[dissonance]

Non è per fare il guastafeste, ma leggendo l'articolo, dopo il titolo sensazionalistico, si vede che in realtà questa formula è già apparsa parecchie volte in articoli di matematica. Solo che non c'era il nome di Tao e quindi non se ne è accorto nessuno, nel grande pubblico

[vict85]

Non mi stupisce che Tao sia riuscito a dimostrarla in due modi in due ore: è un matematico esperto e la teoria in questione è vasta e conosciuta. Inoltre sapeva che formula doveva dimostrare. Suppongo che anche matematici meno blasonati ci sarebbero riusciti¹.

Relativamente all'analisi numerica, mi stupirebbe se avesse qualche ripercussione. La teoria numerica per calcolare gli autovettori è molto ricca e sinceramente dubito che usare autovettori e determinanti sia una scelta così numericamente efficiente. E anche dal punto di vista della stabilità numerica avrei i miei dubbi, ma non sono un esperto e non vedo cose di analisi lineare numerica da vari anni.
In ogni caso, i determinanti sono valori piuttosto difficili da calcolare per matrici generiche. Insomma, se escludiamo alcune classi di matrici, il metodo più efficiente per farlo consiste nell'uso di decomposizioni, come la LU o la QR. Queste stesse decomposizioni sono alla base dei metodi per calcolare gli autovettori. La mia impressione è che non sia mai diventata famosa perché è più utile dal punto di vista teorico che pratico.

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Note

1. E infatti formule simili sono state trovate da altri in precedenza. ↑

[Bokonon]

@dissonance
Non è esattamente così. Mentre una formula "analoga" era stata proposta già due volte, gli autori non avevano rilevato la relazione diretta fra autovalori e autovettori. E' questo che fa la differenza

[Mathita]

@Vict85: sono d'accordo sull'inefficacia della formula dal punto di vista computazionale... magari potrebbe servire in contesti davvero particolari (penso a matrici tridiagonali/Toepliz/sparse), ma non ci conto più di tanto.

Non concordo a pieno con la prima affermazione: che Tao sia in gamba è indubbio, ma ci saranno sempre enunciati su oggetti elementari tremendamente difficili da dimostrare, per quanto vasta e conosciuta una teoria possa essere.

[dissonance]

https://terrytao.wordpress.com/2019/12/ ... r-algebra/

[Bokonon]

Riporto due passi dal capitolo 5 del paper in oggetto inbtitolato "Sociologia delle discussioni scientifiche".
Una paternità congiunta (in grassetto) di un risultato sotto un nome generico di un'attribuzione scientifica era impensabile fino a 50 anni fa (il lavoro era lasciato agli storici).

As one sees from Section 3 and Figure 1, there was some partial dissemination of the eigenvector-eigenvalue identity amongst some mathematical communities, to the point where it was regarded as “folklore” by several of these communities.
However, this process was unable to raise broader awareness of this identity, resulting in the remarkable phenomenon of multiple trees of references sprouting from independent roots, and only loosely interacting with each other. For instance, as discussed in the previous section, for two months after the release of our own preprint [DPTZ19], we only received a single report of another reference [FZ19] containing a form of the identity, despite some substantial online discussion and the dozens of extant papers on the identity. It was only in response to the popular science article [Wol19] that awareness of the identity finally “went viral”, leading to what was effectively an ad hoc crowdsourced effort to gather all the prior references to the identity in the literature.
[...]
It is not fully clear to us how best to attribute authorship for the eigenvectoreigenvalue identity (2). The earliest reference that contains an identity that implies (2) is by Loewner [L¨34], but the implication is not immediate, and this reference had only a modest impact on the subsequent literature. The paper of Thompson [Tho66] is the first explicit place we know of in which the identity appears, and it was propagated through citations into several further papers in the literature; but this did not prevent the identity from then being independently rediscovered several further times; furthermore, we are not able to guarantee that there is an even earlier place in the literature where some form of this identity has appeared.
We propose the name “eigenvector-eigenvalue identity” for (2) on the grounds that it is descriptive, and hopefully is a term that can be detected through search engines by researchers looking for for identities of this form.