Teoria unificante

[Settevoltesette]

Ciao ragazzi, spero abbiate passato un buon natale, oggi riattivo il forum con una domanda, mi chiedevo in che modo la teoria delle categorie unisce le varie aree della matematica (sento sempre più spesso parlare di categorie, ho una vaga idea di cosa siano, credo) quel che so e che si considerano insiemi di vari oggetti della matematica con le loro funzioni caratteristiche, ma poi come si collegano insieme, ed inoltre fornisce strumenti utili per risolvere qualche problema nei vari settori della matematica?

[otta96]

Per quanto ne so io l'idea di fondo è quella di studiare come unica tipologia di oggetto le categorie, che possono essere cose molto generali come ad esempio la categoria degli insiemi.
La cosa è un po' un analogo di quello che si fa in algebra studiando oggetti come campi, anelli, gruppi, eccetera e studiandone le proprietà che hanno senso per campi, anelli e campi.
Io non la vedo comunque come una teoria unificante, ma più come una teoria a sé come le altre, particolarmente utile in molti contesti come linguaggio per esprimere dei concetti.
Per quanto riguarda le applicazioni, ce ne sono ma non è la cosa principale che fa la teoria delle categorie, spesso non si considerano come molto importanti (nel senso che raramente una applicazione a qualche teoria matematica viene considerata importante da chi non è affascinato dalla teoria delle categorie già in partenza).

[solaàl]

fornisce strumenti utili per risolvere qualche problema nei vari settori della matematica?

Usando il linguaggio delle categorie uno
- fornisce dei modelli dove interpretare la teoria degli insiemi (o dei tipi) in una fondazione intuizionista https://it.wikipedia.org/wiki/Topos_%28matematica%29
- dimostra che una teoria quantistica topologica è completamente determinata dal suo valore nel punto https://en.wikipedia.org/wiki/Cobordism_hypothesis
- trova una dimostrazione molto elegante dell'esistenza di modelli di ZF dove l'ipotesi del continuo non vale (vedi MacLane, Saunders, and Ieke Moerdijk. Sheaves in geometry and logic: A first introduction to topos theory; VI.2 Teorema 1).
- dimostra le congetture di Weil https://en.wikipedia.org/wiki/Weil_conj ... onjectures

La stragrande maggioranza del linguaggio della geometria algebrica, della topologia algebrica e della teoria dei tipi utilizza il linguaggio delle categorie (esiste una congettura molto recente, la "congettura di inizialità", che dice che la teoria dei tipi e la teoria delle categorie sono sintassi equivalenti: questo è il senso più formale in cui "la teoria delle categorie è un linguaggio unificante per la matematica": congetturalmente lo è la teoria dei tipi, e altrettanto congetturalmente questi due formalismi son equivalenti).



Mi sembra quindi che le cose stiano al contrario di questa idea:

raramente una applicazione a qualche teoria matematica viene considerata importante da chi non è affascinato dalla teoria delle categorie già in partenza

Storicamente è avvenuto esattamente il contrario (come detto ad esempio in Krömer, "Tool and object: a history and philosophy of category theory" e in Marquis, "From a geometrical point of view: a study of the history and philosophy of category theory"): matematici di spessore, come Grothendieck, Quillen, Kan, Kontsevich hanno utilizzato

La teoria delle categorie in fin dei conti è stata inventata per sistematizzare le parti della matematica che hanno una natura dialettica: algebra, geometria, logica. Chiaramente la matematica non è tutta lì, ma altrettanto evidentemente è piena di applicazioni.

Recentemente, poi, si è imposta l'idea che il linguaggio categoriale sia utile (non essenziale: utile) per studiare tutti i fenomeni "composizionali", ossia governati dalla composizione sequenziale di parti interagenti (per esempio sistemi dinamici, reti di Petri, linguaggi formali); tra gli altri esempi, l'omologia persistente studia tecniche di ricostruzione delle immagini con gli strumenti della topologia algebrica (e di riflesso, seppure in maniera minore, delle categorie). Negli ultimi due anni, la comunità che si occupa di "teoria delle categorie applicata" sta crescendo esponenzialmente: si può parlare di

- programmazione funzionale https://www.idris-lang.org
- teoria della computabilità https://golem.ph.utexas.edu/category/20 ... ories.html
- teoria dei giochi https://julesh.com/publications/

E molto altro: se vuoi saperne di più la scuola di ACT del 2020 ha appena aperto le iscrizioni. http://www.appliedcategorytheory.org/ad ... -act-2020/

[Mathita]

Che bella risposta @Solaàl! Ho solo una domanda: cosa intendi con "natura dialettica"? In ogni caso, ho tentato di affacciarmi a questa teoria¹, ma le mie gravi lacune nelle Algebre mi hanno sempre indotto a mollare.

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Note

1. Teoria di cui nessun insegnante ha fatto menzione, nemmeno i miei prof delle varie Algebre, tanto meno l'insegnante di Logica Matematica. A dirla tutta, sono venuto a conoscenza della teoria delle Categorie proprio su questo Forum (e su un altro che però è... come dire... deceduto?!). ↑

[kaspar]

Io non la vedo comunque come una teoria unificante

A sentir dire, è una teoria potente, ma nessuno mi pare abbia detto che questa teoria sia la "teoria unificatrice" o "definitiva", nemmeno i categoristi stessi. È una teoria potente, tutto qui. E forse parlare di teoria unificatrice è troppo e da impulsivi.
È bello che qualcuno provi curiosità e l'esistenza di questa discussione è un buon segnale.

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

[...] ma le mie gravi lacune nelle Algebre mi hanno sempre indotto a mollare.

E può essere alla portata di tutti anche senza prerequisiti così alti come si può pensare. Io vengo da studi di Filosofia, quindi...¹ E per vie oscure del kantismo e delle Teorie delle Categorie filosofiche mi ritrovo nei miei brevi ritagli di tempo a fare Teoria delle Categorie, quella che vi è più nota (anche se le due sono vicine), e spero anche Teoria dei Topoi e Logica Categoriale. Comunque sono ritagli, che molte volte mi devo evitare, per ora dovendo recuperare un ritardo iniziale...

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Note

1. In realtà avrei voluto continuare i miei studi per sfociare nella Logica, ma ho dovuto interrompere, e ora mi ritrovo a studiare Matematica dal primo anno ... ↑

[solaàl]

cosa intendi con "natura dialettica"?

E' un po' lungo da raccontare... spero di essere in forze domani.

[Settevoltesette]

Ho parlato di teoria unificante perché l'ho letto su wiki ed anche perché nella mia mente la teoria delle categorie la visualizzo come tanti insiemi che racchiudono gli oggetti matematici di varia natura con le loro funzioni caratteristiche e dei collegamenti tra un insieme all'altro.

Però non so molto al riguardo e poi wiki potrebbe parlare di unificazione in senso lato

[kaspar]

Why study categories— what are they good for? We can offer a range of answers for readers coming from different backgrounds:

• For mathematicians: category theory organises your previous mathematical experience in a new and powerful way, revealing new connections and structure, and allows you to “think bigger thoughts”.
  
• For computer scientists: category theory gives a precise handle on important notions such as compositionality, abstraction, representation-independence, genericity and more. Otherwise put, it provides the fundamental mathematical structures underpinning many key programming concepts.
  
• For logicians: category theory gives a syntax-independent view of the fundamental structures of logic, and opens up new kinds of models and interpretations.
  
• For philosophers: category theory opens up a fresh approach to structuralist foundations of mathematics and science; and an alternative to the traditional focus on set theory.
  
• For physicists: category theory offers new ways of formulating physical theories in a structural form. There have inter alia been some striking recent applications to quantum information and computation.

[...]

Citazione da Samson Abramsky e Nikos Tzevelekos, Introduction to Categories and Categorical Logic, pagine 7 e 8, su arXiv https://arxiv.org/pdf/1102.1313v1.pdf.