fornisce strumenti utili per risolvere qualche problema nei vari settori della matematica?
Usando il linguaggio delle categorie uno
- fornisce dei modelli dove interpretare la teoria degli insiemi (o dei tipi) in una fondazione intuizionista
https://it.wikipedia.org/wiki/Topos_%28matematica%29- dimostra che una teoria quantistica topologica è completamente determinata dal suo valore nel punto
https://en.wikipedia.org/wiki/Cobordism_hypothesis- trova una dimostrazione molto elegante dell'esistenza di modelli di ZF dove l'ipotesi del continuo non vale (vedi MacLane, Saunders, and Ieke Moerdijk.
Sheaves in geometry and logic: A first introduction to topos theory; VI.2 Teorema 1).
- dimostra le congetture di Weil
https://en.wikipedia.org/wiki/Weil_conj ... onjecturesLa stragrande maggioranza del linguaggio della geometria algebrica, della topologia algebrica e della teoria dei tipi utilizza il linguaggio delle categorie (esiste una congettura molto recente, la "congettura di inizialità", che dice che la teoria dei tipi e la teoria delle categorie sono sintassi equivalenti: questo è il senso più formale in cui "la teoria delle categorie è un linguaggio unificante per la matematica": congetturalmente lo è la teoria dei tipi, e altrettanto congetturalmente questi due formalismi son equivalenti).
Mi sembra quindi che le cose stiano al contrario di questa idea:
raramente una applicazione a qualche teoria matematica viene considerata importante da chi non è affascinato dalla teoria delle categorie già in partenza
Storicamente è avvenuto esattamente il contrario (come detto ad esempio in Krömer, "Tool and object: a history and philosophy of category theory" e in Marquis, "From a geometrical point of view: a study of the history and philosophy of category theory"): matematici di spessore, come Grothendieck, Quillen, Kan, Kontsevich hanno utilizzato
La teoria delle categorie in fin dei conti è stata inventata per sistematizzare le parti della matematica che hanno una natura dialettica: algebra, geometria, logica. Chiaramente la matematica non è tutta lì, ma altrettanto evidentemente è piena di applicazioni.
Recentemente, poi, si è imposta l'idea che il linguaggio categoriale sia utile (non essenziale: utile) per studiare tutti i fenomeni "composizionali", ossia governati dalla composizione sequenziale di parti interagenti (per esempio sistemi dinamici, reti di Petri, linguaggi formali); tra gli altri esempi, l'omologia persistente studia tecniche di ricostruzione delle immagini con gli strumenti della topologia algebrica (e di riflesso, seppure in maniera minore, delle categorie). Negli ultimi due anni, la comunità che si occupa di "teoria delle categorie applicata" sta crescendo esponenzialmente: si può parlare di
- programmazione funzionale
https://www.idris-lang.org- teoria della computabilità
https://golem.ph.utexas.edu/category/20 ... ories.html- teoria dei giochi
https://julesh.com/publications/E molto altro: se vuoi saperne di più la scuola di ACT del 2020 ha appena aperto le iscrizioni.
http://www.appliedcategorytheory.org/ad ... -act-2020/
"In verità le cose che nella vita sono tenute in gran conto si riducono a vanità, o putredine di nessun valore; botoli che si addentano, bambocci litigiosi che ora ridono, poi tosto piangono." (Lotario conte di Segni)