Limite di sin(1/x)

[Zakk]

Salve a tutti avrei una questione da proporvi che mi incuriosisce perchè sn un appassionato di matematica, ma non ho trovato una risposta alla stessa.Si sa che il limite per x che tende all'infinito di sin(x) non esiste in quanto la funzione è periodica, e fin qui ci siamo. Se considero però la funzione sin(1/x) e considero sempre il limite di x che tende all'infinito allora questo viene zero. Adesso facendo il limite di x che tende a zero della seconda funzione ( sin(1/x) ) ottengo lo stesso comportamento di sin(x) quando x tende all'infinito. Adesso però, essendo x = 0 un punto finito , questo comportamento lo posso vedere. Il problema che mi sono posto è : cosa accade in un intorno prosimo allo zero? La risposta piu' facile è dire che il limite non esite (giustamente), ma graficando con il Derive tale funzione spuntano cose allucinanti, come picchi di funzione assurdi ed escursioni mai viste prima. Vorrei sapere se esiste una risposta a tale quesito : cosa accade in un intorno piccolissimo dello zero di questa funzione? Grazie anticipatamente dell'eventuale risposta.

[Camillo]

nell'intorno di 0 la funzione ha infiniti massimi, minimi e zeri ; infatti $sin(1/x) = 0 $ vuol dire $1/x=k*pi$ da cui $x=1/(k*pi)$, ecco gli zeri della funzione, che sono quindi $1/pi,1/(2pi),1/(3pi),....$ che si infittiscono appunto verso lo zero.

[Luca.Lussardi]

Faccio notare che per $x\ to 0$ nemmeno $1/x$ ammette limite.

[Zakk]

Ringrazio per la risposta alla mia curiosità.

[zorn]

Faccio notare che per $x\ to 0$ nemmeno $1/x$ ammette limite.

A meno che non si decida di identificare $-oo$ e $+oo$ nell'infinito complesso $oo$

[Gaal Dornick]

aspetta aspetta, che significa l'ultima? mi manca

[amelia]

Quando estendi l'insieme dei reali e aggiungi $oo$ puoi procedere in 2 modi
1) aggiungi $+oo$ come estremo superiore e $-oo$ come estremo inferiore
2) aggiungi solo $oo$, perdi l'ordinamento perché il Sup coincide con l'Inf, però guadagni qualche limite in più

[Luca.Lussardi]

Sì, guadagni qualcosa in geometria proiettiva, ma dal punto di vista dell'analisi non stai guadagnando moltissimo.

[Gaal Dornick]

e prima l'hai chiamato infinito complesso perchè: analogamente a come si estendono i reali, si possono estendere i complessi.. ma qui non ci potrà essere un $+oo$ o $-oo$ visto che non c'è ordinamento, e così inventiamo solo $oo$
Correct?

[Luca.Lussardi]

Più o meno sì, è così: si chiama anche compattificazione di Alexandroff.