matematica: creazione o scoperta?

[Chevtchenko]

La scelta di un determinato sistema di assiomi serve a delimitare un ambito di indagine, a concentrare la nostra attenzione su una certa classe di oggetti o di proprietà; ma una diversa scelta di assiomi non potrà mai invalidare un teorema una volta che esso sia dimostrato.

[clarinetto90]

anch'io sono d'accordo, infatti la matematica è insieme un'invenzione ma anche una scoperta.
tuttavia però tutti i vari teoremi che vengono "inventati" sono dimostrabili non solo matematicamente ma anche in natura; cosa dedurre da ciò? forse la matematica ha un'origine divina? dopotutto anche Keplero affermò "la geometria ha fornito a dio gli schemi per la creazione dell'universo"

[zorn80]

Bene una sezione apposita!

Manco da un po' sul forum x impegni vari (prima ero zorn ndr) ma vedo già che è notevolmente migliorato

Beh penserò con calma a una buona risposta

[zorn80]

La matematica è la tendenza a perfezionare la realtà.

[pmchiaro]

Questa discussione mi affascina. Naturalmente non ho soluzioni da proporre, ma mi piace molto quella di K.R. Popper che provo a riassumere brevemente.
Esistono tre mondi: mondo1 (oggetti fisici, organismi compresi), mondo2 (esperienze mentali coscienti), mondo3 (prodotti della mente umana: teorie, letteratura, matematica, ecc.). I numeri naturali sono probabilmente stati inventati da qualche uomo preistorico che la sera doveva contare (mondo2) gli animali (mondo1) da mettere al riparo. I numeri naturali, come prodotto di mente umana, sono poi entrati a far parte del mondo3. Il mondo3 è del tutto autonomo e ci restituisce più di quanto ci abbiamo messo. Ad esempio se i numeri naturali sono una invenzione (mondo2 >> mondo3) i numeri primi sono una scoperta (mondo3 >> mondo2). Per Popper il mondo3, diversamente dal mondo delle idee di Platone, è ben concreto, sta nelle tradizioni orali, nelle tavolette di argilla, nei libri, nelle biblioteche, nei computer, ecc.

[mariodic]

[quote="yinyang"]arte o indagine?
gioco libero della fantasia o scienza sperimentale?

cosa ne pensate?
Rispondo. Per quanto possa sembrare apparentemente strano, la matematica è, come dire, una invenzione, non, però, nel senso che comunemente si dà a questo termine, piuttosto da intendersi come "creazione". Il discorso qui, però, diventa piuttosto complesso sicchè lascio la parola a chi volesse aggiungere o sottrarre qualcosa a questa considerazione.

[oruam]

Trovo interessante, nella presente discussione, il fatto che si dia dato un diverso valore all'idea di ‘utile’ e a quella di ‘bellezza’, in riferimento alla matematica.
Sicuramente non avremmo matematici se la matematica non servisse a nessuno, neppure al pastore che conta le sue pecore al rientro e, però, il pastore contante deve provare un godimento particolare non solo per potersi così conservare le pecore e sapere se una non manca all'appello, ma anche per il fatto di poterle contare.
La soluzione di un problema, ottenuta in maniera tanto ‘naturale’ e piacevole, senza alcuno sforzo se non quello di assegnare a ciascuna un numero, addirittura marchiandoglielo addosso per renderglielo definitivo, deve averlo reso a suo tempo particolarmente fiero e desideroso di ringraziare qualcosa o qualcuno del fatto di essere riuscito a farlo come di averlo potuto fare. E così un pastore avrà detto 'grazie a Dio per aver messo un numero ad ogni mucca, io ho solo evidenziato quell'ordine che già Lui aveva creato', mentre un altro avrà invece gridato 'sono un genio'.
In ogni caso il problema era risolto e con un piacere tale da spingerlo a cercare di risolvere problemi d'ordine più elevato.

Detto questo mi permetto di chiedere un chiarimento a Chevtchenko: confermi la tua seguente affermazione?

“La scelta di un determinato sistema di assiomi serve a delimitare un ambito di indagine, a concentrare la nostra attenzione su una certa classe di oggetti o di proprietà; ma una diversa scelta di assiomi non potrà mai invalidare un teorema una volta che esso sia dimostrato”.

E’ assolutamente certo che una diversa scelta di assiomi non porterà mai a teoremi, entrambe dimostrati, tali che l’uno contraddica l’altro? Comprendo, o spero di comprendere – da persona che nulla sa di matematica – che, posti diversi assiomi, possiamo, permettimi la descrizione filosofica, costruire mondi matematici diversi e tali da non poter produrre contraddizioni, non essendo partecipi l’uno dell’altro, ma ciò non porrebbe dei dubbi riguardo alla fondatezza ed alla 'assolutezza' della tua affermazione?
Grazie della pazienza e di un cortese chiarimento.
Ciao.

[oruam]

Grazie Sergio, la risposta al dubbio è stata esauriente e anche 'didattica', per me.
Mi è tormentoso addentrarmi, come tu invochi, e giustamente, nella matematica, a causa di una 'impazienza' nei confronti della sua, come dire, simbolizzazione? formalizzazione? che mi ha sin dalla scuola frenato nella comprensione dell'ordine dei problemi, che mi stancava la mente. Ho poi fatto filosofia e, nonostante tutto, qui incontrando la logica formale, dopo filosofia volevo iscrivermi a matematica e a fisica. Poi non ho fatto nulla, nell'ambito della 'Scienza'.
Detto questo, con cui non intendo affatto scusarmi, dato che l'ignoranza di cui sono dotato mi costringe a prendere molte 'facciate' non appena mi espongo alla discussione nel mondo, e mi scuso allora col riconoscere la mia presunzione (cosa non sempre facile), mi pare di capire, dalla tua risposta, che oggetti e proprietà diversi sono sguardi su una 'presunte' stessa realtà da angolature diverse e che, probabilmente, non c'è modo di trovare contraddizione, proprio come per la prospettiva della pittura medievale, messa al confronto con quella rinascimentale, che non è né migliore né peggiore ed è solo altra cosa: oggetti e proprietà diversi, tuttavia derivanti da una stessa realtà o, almeno, da una presunta stessa realtà.

Mi permetto di porti un interrogativo, data la tua disponibilità: se finisco o se mi dirigo OT ci risentiremo in altra circostanza, spero.
La domanda posta in questo 3D, ovvero 'matematica: creazione o scoperta', rilancia l'annosa questione se vi sia una realtà fonte della matematica, o almeno 'suggeritrice' di essa, o se invece noi costruiamo il mondo con strutture mentali matematiche nostre. L'attuale sviluppo della fisica teorica, da quel poco che ho letto, ad esempio, suggerisce l'ipotesi di ulteriori possibili prospettive come le 11 dimensioni del mondo quantistico della teoria delle Stringhe. Ecco, l'interrogativo nasce dalla constatazione di come sia difficile oggi dirsi, o potersi dire 'consapevoli' di una qualche realtà e, tuttavia, di come tale realtà sia fortemente presunta (e con essa tutte le affermazioni che vi ci stanno senza contraddizione). So che per la matematica una data realtà è solo una delle possibili prospettive, e il professor Patrone a suo tempo è stato chiaro nel sottolinearmi che 'non esiste la natura' e che... e che... ecco, le conseguenze sono problematiche, almeno per chi, come tutti quelli che hanno risposto alla domanda qui posta, cerca delle definizioni ultimative di come sia fatto il mondo (di come sia fatta la matematica, dovrei dire, ma quest''oggetto', che è la matematica, non è un forse oggetto tra gli oggetti del mondo e, dunque, la domanda sul suo stato non è anche una domanda indiretta sulla realtà dell'Essere? Insomma, non siamo, volenti o nolenti, tutti costretti ad essere filosofi?).
La questione: il mondo sarà pure come la miriade di forme e volti che Khrisna indica ad Arjuna nella Baghavad-Gita e che la matematica permette di costruire con assiomi diversi senza contraddizione, e tuttavia perché una prospettiva prevale, almeno nella nostra 'forma mentis', sulle altre? Utilità del vivere o che altro? Grazie e complimenti per la tua competenza matematica, pregandoti di scusarmi se pongo questioni forse 'oziose' o datate. Ciao.

[Mega-X]

La matematica esisteva già prima del Big Bang e di ciò che c'era prima, poi Dio ha inventato le leggi fisiche, le leggi chimiche, la letteratura e la storia.

La matematica si scopre, non si inventa. Quello che si inventa sono le soluzioni ai teoremi, funzioni che controprovano una congettura, operatori che trasformano equazioni differenziali in addizioni e moltiplicazioni.
Tutto il resto, ovvero gli assiomi, la distribuzione dei numeri primi, le cardinalità di vari insiemi e numeri come $\pi$, $e$ ed $i$ sono stati SCOPERTI.

OK forse sono stato un "PO" eccentrico nel dire queste cose, e a fare così lunga la situazione, ma rappresentano quello che penso però..

[ViciousGoblin]

La matematica esisteva già prima del Big Bang e di ciò che c'era prima, poi Dio ha inventato le leggi fisiche, le leggi chimiche, la letteratura e la storia.
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Tutto il resto, ovvero gli assiomi, la distribuzione dei numeri primi, le cardinalità di vari insiemi e numeri come $\pi$, $e$ ed $i$ sono stati SCOPERTI.

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Anche accettando il tuo punto di vista mi sembra un po' strano che gli assiomi siano stati scoperti - data anche la loro "provvisorietà"
Gusto per mettere pulci negli orecchi...