determinante

[pick]

Qualcuno mi spiega cosa rappresenta il determinante di una matrice, all'università si sono limitati a dire che il determinante si calcola in un certo modo e poi basta. Grazie


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[goblyn]

Il determinante di una matrice ha un significato che dipende da che cosa quella matrice rappresenta.
Potrebbe rappresentare una conica (o una quadrica): in questo caso dal determinante si deducono delle proprietà della conica (ad es se è un'ellisse o un'iperbole o una parabola).
Potrebbe rappresentare un'applicazione lineare: se il determinante è nullo l'applicazione non è invertibile.
Eccetera! Sono sicuro che mano a mano che esplorerai nuovi ambiti di applicabilità delle matrici scoprirai nuovi significati per il determinante!
So di essere stato un po' sintetico ma vedrai che qualcun altro ti spiegherà con esempi più chiari. Lupo Grigio ad esempio è molto bravo nel far capire le cose... (scaricabarile in piena regola... <img src=icon_smile_tongue.gif border=0 align=middle>)

goblyn

[Laura]

Si definisce determinante di una matrice quadrata A(n,n) una funzione che associa ad ogni matrice di R ^(n*n) un numero reale

[lupo grigio]

Dal momento che l’amico goblyn mi ha gentilmente tirato in ballo sono obbligato a dire la mia…
Limitandoci al solo caso di una matrice composta di n^2 elementi disposti su n righe ed n colonne, che chiameremo A(n,n). Non specifichiamo la natura degli elementi che la compongono [possono essere numeri reali o complessi, funzioni, operatori o altro…] quanto il fatto che per essi valgono le operazioni di somma e prodotto. Ogni elemento della matrice è <u>uno scalare</u> che indichiamo con la denominazione ai,j con i e j indipendenti che possono valere 1,2,…,n. Ogni riga [ o colonna] di A(n,n) è <u>un vettore</u> di dimensione n [composto cioè di n scalari…].

Ciò premesso voglio prescindere dalla definizione di determinate di A(n,n) [che suppongo a tutti voi nota] per cercare di darne il ‘significato rappresentativo’, come richiesto da pick. Per far questo premettiamo da prima la definizione di un insieme di vettori <u>linearmente indipendenti</u>…

Supponiamo di avere n vettori <u>ri</u> con i=1,2,…,n, ciascuno di dimensione n. Tali vettori si dicono <u>linearmente indipendenti</u> se la relazione…

a1*<u>r1</u> + a2*<u>r2</u> + … + an*<u>rn</u> = <u>0</u> [1]

... vale solamente per a1=a2=…=an=0.

Venendo ora al significato del determinante di una matrice A(n,n), se indichiamo con <u>ri</u> i=1,2,…,n i <u>vettori riga</u> di essa, si può dimostrare che <u>condizione necessaria e sufficiente affinchè essi costituiscano in insieme di vettori linearmente indipendenti è che il determinante di A(n,n) sia diverso da 0</u>.

Le applicazioni di questo teorema del tutto generale sono numerosissime ed è impossibile accenare a tutte. La più nota riguarda i sistemi lineari ossia sistemi posti nella forma…

A(n,n) * <u>x</u> = <u>b</u> [2]

Un noto teorema afferma che il sistema [2] ammette una e una sola soluzione se se solo se il determinate di A (n,n) è diverso da 0, ossia se le righe della matrice A(n,n) sono linearmente indipendenti. In tal caso il sistema e la matrice si dicono <u>regolari</u>. Se viceversa il determinante è nullo allora il sistema [2] può non ammettere soluzioni ovvero ammetterne infinite, e in questo caso il sistema e la matrice si dicono <u>singolari</u>.

Nella pratica spesso ci si imbatte il sistemi di equazioni lineari. Una buona norma per evitare ‘sorprese’ è quella, prima di risolverlo con uno dei numerosi metodi disponibili, di verificare che esso non sia singolare calcolando il determinante di A(n,n). Certo costa tempo e fatica per cui…

E’ ovvio che ci sarebbe una infinità di altre cose da dire… per il momento ci fermiamo qui…

cordiali saluti!…

lupo grigio

<img src="http://utenti.lycos.it/luposabatini/wolf.gif" border=0>






Modificato da - lupo grigio il 13/06/2003 15:53:51

[pick]

Grazie

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[fireball]

Caro lupo, lo vedi che a volte neanche la tua gif si vede? Non so, a questo punto penso sia un problema del forum...

<font size=6><b><font color=red>fireball</font id=red></b></font id=size6>
<img src="http://www.byteboosters.de/fire.gif" border=0>

[fireball]

Un attimo fa non si vedeva!!! Adesso si rivede...

BOH

<font size=6><b><font color=red>fireball</font id=red></b></font id=size6>
<img src="http://www.byteboosters.de/fire.gif" border=0>

[christ]

Il determinante è un numero associabile a una matrice quadrata secondo una ben precisa definizione. Esso torna utile essenzailmente per tre motivi (fra i tanti):

1) ci può dire se n vettori sono linearmente indipendenti;
2) ci permette di sapere se un sistema lineare è determinato da una soluzione ed eventualmente ci dice qual è;
3) ci dice se una matrice quadrata è invertibile e ci permette di conoscerne l'inversa.

Già questo non mi pare poco...

Ciao
Christian
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Christian Scotti

[saurin]

Alla fine dal valore del determinante (uguale o diverso da zero) ci si può ricavare solo le cose precedentemente dette di una matrice? o ce ne sono atre?

[@melia]

Lasciamo perdere il necro-posting, per piacere.