Zermelo e gli Insiemi

[Platone]

Non ho ben capito cosa chiedi.
Cmq in generale un sottoinsieme di un insieme non e' un suo elemento.Cosi' come in generale un elemento di un elemento di un insieme non e' anche un elemento di quest'ultimo insieme. Un esempio banale: un fascio di rette e' un insieme di rette; un elemento di questo insieme e' una retta; ora vedento la retta come insieme i suoi elementi sono i punti; ma un punto di una di queste rette non e' anche un elemento del fascio di rette!
Per quanto riguarda la questione degli insiemi inpropri, in riferimento alla figura che hai postato (seppur non l'ho ben capita), posso anche aggiungere che nei casi in cui un insieme e' anche un elemento di se stesso si dice che l'insieme e' malfondato, e c'e' chi non li considera neanche insiemi, ma classi.

Platone

[Bemipefe]

Ok "Platone" ......Ma se quello che dici è vero allora perchè nell'esercizio che ho postato all'inizio si scirve che un inzieme appartiene alle parti di N ?

Sarai daccordo se ti dico che <i>P</i>(N) (l'insieme delle parti ) ha come elemento l'insieme X......quindi X appartiene a <i>P</i>(N).

E poi con due inziemi A e B io sò che se B è un sottoinzieme di A ed esiste un x appartenente a B allora quell'x appartiene anche ad A. Questo stà nella definizione di sottoinsieme e non lo puoi negare.

E poi anche il fascio di rette è costituito da punti.......in particolare dall'insieme dei punti che costituiscono le rette del fascio.
Quindi se un punto appartiene ad una retta è vero che può non appartenere ad un altra, tuttavia questo punto appartiene sempre e comunque al fascio di rette cioè all'insieme che ha per elementi "le rette", le quali sono insiemi contenenti punti.

Per la figura volevo solo una dimostrazione o melgio una spiegazione del perchè si dice che:

A = B quando A contenuto uguale B e B contenuto uguale A

<b><u>Bemipefe</u></b>

[Platone]

Partiamo dalla fine.
Spesso in matematica per dimostrare che due cose sono uguali si dimostra prima che una e' minore uguale dell'altra e poi che anche quest'ultima e' minore uguale della prima: allora non c'e' scampo, l'unica possibilita' per non entrare in contradizione e' che siano uguali.
E' la stessa cosa con gli insiemi, solo che al posto del minore uguale, si usa il contenimento.
Per quanto riguarda le parti di un insieme, e' vero che l'insieme A appartiene all'insieme delle sue parti, ma dire questo e' diverso dal dire che A appartiene ad A! Le parti di A sono per definizione tutti i possibili sottinsiemi di A, e quindi esso e' un insieme di insiemi (anche se nella teoria di Zermelo tutto puo' essere visto come un insieme).
Anche per quanto riguardo i sottinsiemi, e' vero che se B e un sottinsieme di A allora se x appartiene a B allora appartiene anche ad A, ma cio' che non e' vero e' che B appartiene ad A: B e' un sottoinsieme di A>
Analogamente se vedi il fascio di rette come insieme di punti, allora i punti sono elementi del fascio, ma le rette no, queste ora sono sottinsiemi del fascio.

Platone

[Bemipefe]

Scusa Platone ma non riesco a definire proprio, in modo definitivo l'uso di "appartiene a" e di "contenuto in".

Se A è contenuto in B tu dici che non è vero che B appartiene a A.
Perche?
Secondo quello che ho studiato, un insieme può essere anche un elemento. Quindi B può essere un elemento di A perchè stà dentro A.
Quando dici che prendendo I come insieme delle parti dell'insieme P, e dici che un terzo insieme T appartiene a I, e questo l'hai affermato anche tu, metti automaticametne T tra l'elenco degli elementi di I .
Si è vero i ha solo insiemi come elementi. Ma questo non toglie che se il nostro A ha come sottoinsieme B allora B appartiene ad A, perchè lo stesso scrivi quando parli di I e T, cioè dici T appartiene a I, e potresti dire allora anche che T è contenuto in I coiè lo stesso che dire T è un sottoinsieme di I.

Se puoi farlo con T e con I non vedo perchè risulti contraddittorio con A e B, semplici insiemi.

Devi aiutarmi a "sbrogliare la matassa", perchè come ti ho detto non sò quando usare uno o l'altro operatore, non esiste una regola che eviti contraddizioni?

<b><u>Bemipefe</u></b>

[Platone]

Guarda, ora vado un po' di fretta e mi limirto a farti un altro esempio.
Ti faccio l'esempio meno astratto e piu' stupido di tutti, sperando che ti sia da guida in altre situazioni.
Sia A l'insieme con i seguenti elementi: .
Sia B l'insieme con i seguenti elementi: cane, gatto.
Ora, e' chiaro che B e' contenuto in A perche' e' un suo sottinsieme (ogni elemento appartenente a B appartiene anche ad A).
Possiamo anche affermare che dato che l'elemento "cane" appartiene a B e B e' contenuto in A allora "cane" e' anche un elemento di A.
Quello che' invece e' sbagliato e' affermare che B appartiene ad A. Se cosi' fosse, allora B sarebbe un elemento di A; ma gli elementi di A sono solamente: cane, gatto, oca; e chiaramente il sottinzieme B non e' ne un cane, ne un gatto e neanche un oca, e pertanto non e' un elemento di A, quindi non vi appartiene.

Platone

[Bemipefe]

Sono daccordo con te .....ma allora perchè si può scrivere che un un insieme X appartiene all'inzieme delle parti di N ?

Cioè tu dici gli insiemi non sono elementi e B è un insieme quindi B è contenuto in A in quanto sottoinsieme ma non è un elemento e quindi non si può dire che appartiene ad A.

Ma io non sono sicuro di questo.......un insieme è anche un elemento o no?

Per l'esempio precedente SI!....cavolo lo si scrive esplicitamente X appartiene a .......
e poi si dice X contiene almento tre numeri pari , quindi X è un insieme. E l'insieme delle parti di N ha come "ELEMENTI" tutti i sottonsiemi di N. I sottoinsiemi sono elementi....

Garda qui:
<i>P</i>(N) = { {1} , {2} , {3} }
da qualche parte nelle dispense c'era scritto
{1} appartiene a <i>P</i>(N).
se scrivo X = {1} ne viene fuori che X appartiene a <i>P</i>(N).

Sei sicuro che un insieme non possa essere anche un elemento?

Hai capito dove stà il problema?

<b><u>Bemipefe</u></b>

[Bemipefe]

Anche sulle dispense di "matematicamente" c'era scritto che l'insieme delle parti ha come elementi degli insiemi.

Tornando al quesito del post precedente......posso scrivere {1,2} = A e qundue A appartiene a <i>P</i>(N)

<b><u>Bemipefe</u></b>

[Bemipefe]

??? .....era una domanda.

<b><u>Bemipefe</u></b>

[Platone]

Si che lo poui fare. Un insieme puo' essere benissimo un elemento: prendi un insieme di insiemi (come ad esempio le parti di N) e quindi per definizione i suoi elementi sono insiemi. Quello che voglio dire e' che IN GENERALE un sottinzieme non e' un elemento dell'insiemi. Certo questo puo' capitare (e la teoria di Zermelo e' piena di questi insiemi nei quali alcuni elementi (e spesso anche tutti) sono anche dei sottinsiemi); ma in generale e' falso che dato un insieme un suo sottinsieme sia anche un elemento; potrebbe succedere, ma serebbe un caso (anche se spesso fortemente voluto).

Platone

[Bemipefe]

Ma è solo la "volontà" ad agire o posso arginare il problema con una regola?

Cos'è che ti fà dire <<"no, quello non è un elemento ma un insieme">>

<b><u>Bemipefe</u></b>