Zermelo e gli Insiemi

[Platone]

No che non e' volonta'! Che razza di matematica sarebbe!?!!
Preso un sottinsieme B di un insieme A devi vedere su in A c'e' un elemento definito come il sottinsieme B.
Ad esempio nella costruzione dei naturali nella teoria di Zermelo, 0=insiemevuoto, 1={0}, 2={0,1}, 3={0,1,2}, ... , n={0,1,2,...,n-1}, ecc.
Se ora per esempio considerp un intero n (che e' un insieme definito come sopra), con n>=3, e considero il sottinsieme di elementi {0,1}, questo e' si un sott'insiemedi n, ma e' anche un suo elemento: infatti quell sottinsieme e' per definizione (costruttiva) l'elemento "2" dei numeri naturali, che in questo caso e' anche un elemento dell'insieme n.
Se pero' consodero il sottinsieme di n definito come {0,2}, questo e' solo un sottinsieme ma non un elemento di n: infatti in n non c'e' nessun elemento definito in quel modo.

Platone

[Bemipefe]

Grazie Platone!

In ogni caso avevo capito anch'io dove stava il punto, mi serviva una conferma....e l'ho avuta.

Avevo costatato per esempio che con A = {insieme vuoto} posso dire insiemevuoto appartiene a A e insiemevuoto diverso da A.


Adesso vorrei passare alle "Relazioni"..... ti va?

Allora ....quello che mi crea perplessità ....è il fatto che non riesco a formalizzare le definizioni.

Con la riflessiva tutto ok.

Già passando alla simmetrica si creano porblemi.

Io interpreto la definizione così:

Se (perogni "a" in I) AND (perogni "b" in I)
-----> allora (a;b) appartiene a R AND (b;a) appartiene a R.

Ora succede che se è falsa la premessa l'implicazione non importa perchè la proprietà è vera.

...e questo spiega perchè l'insiemevuoto gode di prorpietà riflessiva...

ma a questo punto se ho A= {a}
(a;a) appartiene a R sottoinsieme di A x A.

Da cosa devo stabilire che in A x A non si può stabilire la proprietà simmetrica?

Dal fatto che non esistono almeno 2 elementi e quindi non è soddisfatta la premessa?

....in questo modo però si attribuisce automaticamente a R sottoinsieme di A x A la riflessività, poichè falsa la premessa ........

.....l'ho già spiegato.....

<b><u>Bemipefe</u></b>

[Platone]

Nella definizione di riflessivita' che (detta male) afferma che se aRb allora bRa, a e b devono essere due elementi diversi (altrimenti ottieni la riflessiva aRa).

"....in questo modo però si attribuisce automaticamente a R sottoinsieme di A x A la riflessività, poichè falsa la premessa ........

.....l'ho già spiegato....."

Non ho capito cosa intendi.

Platone

[Bemipefe]

Allora ....innazi tutto nella transitività dici che "a" , "b" , e "c" devono essere tutti diversi?

Prima volevo dire che se c'è un insieme A con solo un elemento allora A x A è transitiva perchè non è soddisfatta la premessa? la premessa è che esistano almeno 3 elementi in relazione come da prorpietà?



<b><u>Bemipefe</u></b>

[Platone]

Scusa, nel post di prima ho sbagliato a scrivere: volevo dire la simmetrica.
Poi, si, nella transitiva gli elementi devono essere diversi.
Ed e' si la risp anche all'ultima domanda: se la premessa e' falsa allora l'impicazione e' sempre vera, quindi in un insieme con un solo elemento valgono simmetrica a riflessiva.

Platone

[Bemipefe]

....e viene riconosciuta anche transitiva ?

Quindi però se ho che in A x B è presente sia (a;b) che (b;a) ma non (b;c) allora la premessa è vera mentre la consequenza è falsa dunque falsa anche la transitività.

...Io formalizzerei così:

La proprietà transitiva T sottoinsieme di A x A è valida ...

..se è vera la proposizione seguente perogni a, b, c, appartenenti a A.
La proposizione è :
{[(a;b) appartiene a R] AND [(b;a) appartiene a R] allora------> [(b;c) deve appartenere a R]}.



<b><u>Bemipefe</u></b>

[Platone]

Scusami ancora una volta; non so perchè penso una cosa e ne scrivo un'altra.
L'ultimo rigo del post precedente è: .....quindi in un insieme con un solo elemento valgono simmetrica e transitiva.

Platone

[Bemipefe]

Se io ti chiedessi quante relazioni transitive puoi individuare in A x A , con A = {a , b , c} tu cosa mi risponderesti?

Ho ragionato un attimino e mi sembra che escludendo da A x A le coppie riflessive del tipo (x ; x) perogni x, e cancellando una coppia appena usata, si possa arrivare a dire che è possibile costruire al massimo

X sottoinsiemi contenenti 3 coppie che godono di proprietà transitiva.

X = [(#A x #A) - (Coppie_Riflessive)] : #A

ESEMPIO:

A = {a , b, c}

A x A = {(a ; a) , (a ; b) ,(a ; c) , (b ; a) ,(b ; b) , (b ; c) ,(c ; a) , (c ; b) ,(c ; c)}

Se tolgo le coppie riflessive ho l'insieme G:

G= {(a ; b) ,(a ; c) , (b ; a) ,(b ; c) ,(c ; a) , (c ; b) ,}

#G = #A - numero_di_coppie_riflessive

Numero_di_coppie_riflessive = #A

Dalla mia formula si deduce che posso costruire X sottoinsiemi che godono di transitività

X = 9 - 3 : 3 = 2

...se provate cancellando ogni coppia usata non si riescono a fare più di tre sottoinsiemi che godono di transitività, anche perchè 3 insiemi con 3 coppie fanno 9 coppie.
Le nove coppie sono quelle massime disponibile che ho per questa costruzione.

In generale no nè sempre così .....per esempio con #A = 4 alcune coppie rimangono fuori.

X = 16 -4 : 4 = 3

Si hanno 12 coppie sfruttabili ma 3 coppie non riesco a concatenarle e da formula infatti mi vengono solo 3 coppie.


Sono Schizzato? ........badate che è il mio primo ragionamento logico-matematico "serio" ....... e non è un gran che penso....

<b><u>Bemipefe</u></b>

[Bemipefe]

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">Si hanno 12 coppie sfruttabili ma 3 coppie non riesco a concatenarle e da formula infatti mi vengono solo 3 coppie.<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">

...le tre coppie citate alla fine sono in realtà 3 sottoinsiemi con proprietà transitiva.....mi sono sbagliato.

<b><u>Bemipefe</u></b>

[Bemipefe]

...non sono stato abbastanza chiaro?

<b><u>Bemipefe</u></b>