Funzione pari e dispari

[vinzenzo]

Salve, come si dimostra che una funzione può essere scritta come somma di una funzione pari e una dispari?
Dove, però, in un dominio simmetrico rispetto all'origine, si ha:
$ p_f(x)=f(x)+f(-x) $ è pari; e
$ d_f(x)=f(x)-f(-x) $ è dispari.

[Zero87]

A quest'ora non sono lucidissimo e sono indeciso se spostarlo nella sezione delle secondarie o in quella di analisi matematica. Però ricordo che all'epoca io di funzioni pari e dispari ho fatto giusto qualcosa di basilare al liceo, perciò lo sposto nella sezione di analisi matematica, casomai i miei mod-colleghi si arrabbieranno con me e lo sposteranno nella sezione delle secondarie.

Quindi... sposto nella sezione di analisi matematica.

[gugo82]

Sì, se $f$ è definita in un insieme bilanciato, essa si può scomporre nella somma di una funzione pari ed una dispari.
Ad esempio, considera la funzione $f_p(x) := (f(x) + f(-x))/2$ definita nello stesso insieme di $f$: com’è? Che simmetria ha?

[pilloeffe]

Ciao vinzenzo,

come si dimostra che una funzione può essere scritta come somma di una funzione pari e una dispari

Mi pare piuttosto semplice:

$f(x) = f(x)/2 + f(x)/2 = f(x)/2 + f(-x)/2 + f(x)/2 - f(-x)/2 = \frac{f(x) + f(-x)}{2} + \frac{f(x) - f(-x)}{2} $

Se $f(x) $ è pari, e quindi se $f(-x) = f(x) $, allora la seconda frazione si annulla e la prima restituisce proprio $f(x) $;
se $f(x) $ è dispari, e quindi se $f(-x) = - f(x) $, allora la prima frazione si annulla e la seconda restituisce proprio $f(x) $