Effetto marginale in un modello probit

[raffamaiden]

Salve,

stavo studiando i modelli logit da libro di Brooks - Introductory Econometrics for Finance, 3° ed.

Nel box 12.1 si parla dell'interpretazione dei coefficienti in un modello logit

The form of the function is \(P_i = F(\beta_1 + \beta_2 x_i + u_i) \) where F represents the logistic-function
[omissis]
To obtain the required relationship between changes in \(\displaystyle x_i \) and \(\displaystyle P_i \), we would need to differentiate \(\displaystyle F \) with respect to \(\displaystyle x_i \) and it turns out that this derivative is \(\beta_2 F(x_i) \)

Tuttavia non riesco a trovare questa derivata in letteratura. La funzione logistica è:

\(F(x) = \dfrac{1}{1+\exp(-x)}\)

e la sua derivata

\( \dfrac{\partial F(x)}{\partial x} = F(x) (1-F(x)) \neq F(x) \)

Come perlatro dimostrato su wikipedia

Qualcuno mi aiuta?

[tommik]

ciao. Non ho mai letto il testo a cui ti riferisci ma ovviamente ho già visto i modelli Logit e Probit.
Che la derivata sia $d/(dx)F=bF(1-F)$ è fuori discussione.
Probabilmente (cerco di intuire) ciò che vuole dire il testo è che la derivata sia "funzione di $b$ e $F$ e questo è vero.
Calcolare quella derivata significa andare a vedere l'effetto di $x_i$ su P. Tale effetto non è costante ma dipende dal livello di P e, attraverso P, anche dal livello di X

[raffamaiden]

Ciao,

Grazie della risposta. Ne dubito che voglia semplicemente dire "la derivata dipende da x"
Non so quante parti del testo posso postare senza violare il copyright, per cui provo a ri-arrangiare un po'
IL testo prosegue dicendo che questi impatti sulla variabile indipendente sono valutati settando ogni variabile indipendente al suo valore medio (non so come tradurre "explanatory variable" in italiano, per cui mi limito a "variabile indipendente")
Per esempio, supponiamo di aver stimato il seguente modello logit
\( \hat{P}_i = \dfrac{1}{1+\exp[-(0.1+0.3x_{2i}-0.6x_{3i}+0.9x_{4i})]} \)
Supponiamo di avere la media delle variabili indipendenti
\( \bar{x}_2 =1.6 \)
\( \bar{x}_3 =0.2 \)
\( \bar{x}_4 =0.1 \)
Allora la stima di F(x) sarà data da
\( \hat{P}_i = \dfrac{1}{1+\exp[-(0.1+0.3\cdot 1.6 - 0.6 \cdot 0.2 + 0.9 \cdot 0.1)]} = 0.63\)

Secondo il testo, l'incremento di una unità di \( x_2 \) (quindi, per esempio, da 2 a 3) causa un incremento nella probabilità che il risultato dell'esperimento sia \( y=1 \) (appunto, la variabile \( P_i \)) pari a \( 0.3 \cdot 0.63 = 0.19 \)

Dato che invece la derivata è quella che abbiamo detto, l'incremento dovrebbe essere pari a \( 0.3 \cdot 0.63 \cdot (1-0.63) \approx 0.07\)

Chi ha ragione?

[tommik]

la penso anche io come te....quindi purtroppo non ti posso aiutare.

Tra l'altro l'effetto massimo si ha quando $F=1/2$ e viene $b/4=0.075$ quindi come fa a dire che l'effetto è 0.19 non so....

aspettiamo altri interventi....

[raffamaiden]

Mi ha risposto l'autore del libro dicendo che non ha molta dimestichezza con la parte matematica di questi modelli e forse può essere se che ha sbagliato e che ricontrolla e nel caso lo inserisce nella quarta edizione che sta scrivendo ....

Boh io gli direi anche di pubblicare un errata corrige per chi ha la terza edizione no?