Esercizio Probabilità e statistica

Messaggioda marcello10 » 10/03/2016, 13:09

Salve ragazzi ho dei dubbi su due esercizi e avendo l'esame a giorni, sto andando un po' in ansia.

Problema 1:
Un gruppo di 10 autovetture identiche sono state assegnate casualmente a due gruppi (I e II) e fatti circolare in due città diverse. Le percorrenze chilometriche per litro di carburante sono le seguenti:

I 7.58 9.54 8.70 8.80 9.18
II 7.94 9.43 10.81 9.88 11.09
Ad un livello di significatività 0.95 è sostenibile la tesi secondo cui il secondo gruppo di autovetture ha consumato più del primo? Si effettui il test utilizzando una metodologia NON parametrica.

Problema 2:
Un macchinario produce contenitori a chiusura ermetica. La frazione di non conformi in condizioni di controllo statistico è pari a p0=0,22. Sapendo che i campioni utilizzati per il processo hanno una numerosità n=50 e sono prelevati ogni 30 minuti, si valuti quanto tempo trascorre mediamente prima di identificare un contenitore non conforme.

Per quanto riguarda il Problema 1 ho pensato di fare un test dei segni, ma non se mettere come ipotesi nulla H0: p=1/2 e H1: p diverso da 1/2... ma poi non so bene come continuare, ovvero se considerare comunque alfa=0,05 oppure considerare alfa/2=0,025...
marcello10
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Re: Esercizio Probabilità e statistica

Messaggioda tommik » 10/03/2016, 17:20

marcello10 ha scritto:Salve ragazzi ho dei dubbi su due esercizi e avendo l'esame a giorni, sto andando un po' in ansia.

Problema 1:
Un gruppo di 10 autovetture identiche sono state assegnate casualmente a due gruppi (I e II) e fatti circolare in due città diverse. Le percorrenze chilometriche per litro di carburante sono le seguenti:

I 7.58 9.54 8.70 8.80 9.18
II 7.94 9.43 10.81 9.88 11.09
Ad un livello di significatività 0.95 è sostenibile la tesi secondo cui il secondo gruppo di autovetture ha consumato più del primo? Si effettui il test utilizzando una metodologia NON parametrica.

Per quanto riguarda il Problema 1 ho pensato di fare un test dei segni, ma non se mettere come ipotesi nulla H0: p=1/2 e H1: p diverso da 1/2... ma poi non so bene come continuare, ovvero se considerare comunque alfa=0,05 oppure considerare alfa/2=0,025...


ci sono svariate tecniche per approcciare in maniera non parametrica un esercizio del genere....recentemente ne ho svolto uno in questa stanza con il test di omogeneità di Kolmogorov Smirnov...ora vediamo questo con il test di Mann Whitney Wilcoxon...

cominciamo dal tuo dubbio....ovviamente devi considerare soltanto $alpha$ e non $alpha/2$....l'ipotesi è unilaterale....

Applichiamo il test, attribuiamo il rango alle due serie unite e troviamo la somma dei ranghi del campione del gruppo con minori osservazioni (dato che i due campioni hanno le stesse osservazioni è indifferente che gruppo scegliere; prendiamo il gruppo I)

Immagine

la somma dei ranghi è 20. Il valore atteso $mu_(T)=(5\cdot(5+5+1))/2=27,5$ per cui la somma dei ranghi è minore della media (o maggiore se prendiamo il gruppo II).
Per vedere se la somma dei ranghi è minore (maggiore) della media in modo significativo utilizziamo la tabella del test di Mann Whitney Wilcoxon, unilaterale con $alpha=0,05$

Immagine


Dato che le somme dei nostri ranghi cadono all'interno dei valori critici: $19<[20;35]<36$ concludiamo che la somma dei ranghi non è significativamente diversa dalla media attesa e quindi accettiamo l'ipotesi che la media delle due distribuzioni sia la stessa.

Prova ad applicare altri test e vedere che risultato ottieni.

ciao
Ultima modifica di tommik il 11/03/2016, 12:52, modificato 2 volte in totale.
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Re: Esercizio Probabilità e statistica

Messaggioda marcello10 » 10/03/2016, 17:42

Io ho provato a fare in questo modo... Secondo te va bene?
Immagine
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Re: Esercizio Probabilità e statistica

Messaggioda tommik » 10/03/2016, 20:30

marcello10 ha scritto:Io ho provato a fare in questo modo... Secondo te va bene?


No

1) questo è un forum di matematica -> ergo sarebbe meglio inserire le formule con l'apposito editor e non le immagini del tavolo della cucina

2) il test dei segni che intendi applicare (non so con quale ratio tu l'abbia scelto fra i test non parametrici esistenti) si applica a due campioni appaiati, cioè ad esempio risultato prima del trattamento e dopo il trattamento.....ovviamente non è questo il caso...

3) il valore che trovi è il livello di significatività...e quindi accetteresti l'ipotesi per tutti i valori di significatività minori di quello sperimentale....

ciao....
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Re: Esercizio Probabilità e statistica

Messaggioda marcello10 » 11/03/2016, 15:38

Purtroppo questo test parametrico che mi hai fatto notare, non ci è stato spiegato. In tutto ciò ho risolto questo esercizio con il test dei segni perché un esercizio davvero molto simile è stato svolto con questo metodo, ma purtroppo la spiegazione non l'ho capita molto.
Comunque mi scuso per il fatto della foto, farò più attenzione.
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Re: Esercizio Probabilità e statistica

Messaggioda marcello10 » 11/03/2016, 16:07

Questo è l'esercizio molto simile sul libro:
10 coppie di autovetture identiche son state divise in due gruppi (I e II) e fatte circolare in due città diverse. Le percorrenze chilometriche per litro di carburante fatte registrare dalle autovetture sono le seguenti (ogni colonna corrisponde ad una coppia) :

I 7.58 9.54 8.70 8.80 9.18 8.54 9.71 7.78 8.23 6.75
II 7.94 9.43 10.81 9.88 11.09 10.67 6.99 8.93 9.77 7.25

Senza invocare l'ipotesi di distribuzioni Gaussiane, è possibile verificare, ad un livello di significatività 0.95, la tesi secondo cui il primo gruppo di autovetture ha mediamente consumato più carburante del secondo?

Così è come viene risolto dal libro:
Indicando col simbolo "+" la prevalenza chilometrica dell'autovettura appartenente al secondo gruppo, i risultati possono essere ricodificati come segue:
+ - + + + + - + + +
La Cdf Binomiale con p=0.5 ed n=10 presenta in corrispondenza del valore 2 una coda pari a 0.055. Pertanto, accettando un livello di rischio di I specie di poco superiore a 0.05, il test risulta significativo.

In tutto ciò mi trovo che se ho un livello di significatività 0.18, essendo maggiore di 0.05, non si può rigettare l'ipotesi H0, ma spesso il libro aumenta "lievemente" alfa...
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Re: Esercizio Probabilità e statistica

Messaggioda tommik » 11/03/2016, 16:10

Evidentemente è proprio lo stesso esercizio ma con soltanto le prime 5 coppie di dati. Ciononostante la risoluzione non può essere la stessa e vediamo perché:

In quest'ultimo esercizio, si specifica "10 coppie" di autovetture, intendendo così dati accoppiati e ciò consente di utilizzare il test dei segni che può essere utilizzato SOLO PER DATI ACCOPPIATI.

Nell'esempio che devi risovere tu, invece, il testo dice
marcello10 ha scritto:Un gruppo di 10 autovetture identiche sono state assegnate casualmente a due gruppi (I e II) e fatti circolare in due città diverse.


Se leggi bene l'esercizio che hai postato si capisce bene che così come è scritto i dati non possono essere considerati appaiati e quindi non si può utilizzare il test dei segni.


..ad ogni modo questo test arriva alla stessa conclusione cui sono arrivato io...che è esattamente l'opposto di ciò che hai scritto tu nel post precedente

Immagine


Inoltre: dato che l'esercizio è posto come domanda aperta, ovvero "utlizzate una procedura non parametrica ecc ecc" sarebbe buona cosa fare una carrellata di test non parametrici ed utilizzare il migliore....io ho scelto il test della somma dei ranghi....prova a parlarne con l'insegnante e vedi cosa ti dice....
Ultima modifica di tommik il 14/03/2016, 11:24, modificato 8 volte in totale.
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Re: Esercizio Probabilità e statistica

Messaggioda marcello10 » 11/03/2016, 16:23

Si sono d'accordo col fatto che non avrei dovuto rigettare l'ipotesi H0... ma tralasciando ciò se puoi chiarimi quest'ultima cosa: poichè ho un livello di significatività 1-alfa=0.95 e la H1: p diverso 1/2, avrei dovuto scegliere alfa/2=0.025, oppure considero sempre alfa=0.05 e poi perchè la binomiale è simmetrica considero l'estremo a sinistra e l'estremo a destra?
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Re: Esercizio Probabilità e statistica

Messaggioda marcello10 » 12/03/2016, 12:53

tommik per quanto riguarda il problema 2, ho risolto in questo modo:

poichè ho p0=0.22, ho calcolato σp:Radice(p0(1-p0)/n = 0.059. Poi ho calcolato limite superiore e inferiore, pari rispettivamente a : p0+3σp=0.043 ; p0-3σp=0.397
a questo punto vado a calcolarmi il periodo di ritorno di un fuori controllo: T=1/1-beta
Beta = Pr {0.043<=D/n<=0.397} = Pr{2<=D<=20} =
20
Σ(50 d) * 0.22^d * (1-0.22)^n-d = ?
d=2

Il mio problema sta proprio nel risolvere la sommatoria in quanto sarebbe un po' lungo. Ho pensato di poter approssimare la Binomiale alla Gaussiana, ma non so precisamente come...
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Re: Esercizio Probabilità e statistica

Messaggioda Ciro584 » 24/02/2018, 16:08

Mi sono interessato a questo esercizio perché è un esercizio dei miei appunti
Però avevo dei dubbi
Io ho supposto che i dati fossero appaiati e quindi ho usato il test dei segni (ho lo stesso libro del ragazzo)
Ma mi trovo che le zone di rigetto sono solo per y=5 e y=0
Assumendo che $alfa/2$ =0,05 nonstante stia considerando 2 code perché il libro in un esempio cosi fa , ma a mio parere bisognava scrivere 0,025
Un altra cosa è sulla notazione
Perché il libro dice che il livello di significatività è il complemento del rischio di prima specie $alfa $
Mentre wui mi pare tommik che tu abbia chiamato significatività il valore 0,18 che secondo me è un valore da confrontate con il risxhio alfa=0,05 (oppure 0,025 non so quanto valga perché ho il dubbio)
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