ho trovato in rete questo esercizio su processi di Poisson non-omogenei, di cui però non conosco la soluzione e vorrei chiarire, se mai fosse necessario, con voi. Posto qui il testo e il mio svolgimento
Dato un server internet attivo dalle 10:00 alle 18:00 che riceve richieste di accesso seguendo un processo di Poisson con una funzione di intensità che vale 0 all'inizio del funzionamento, 4/richieste - ora alle ore 12:00, 6/richieste-ora alle ore 14:00, 2/richieste-ora alle ore 16:00 e 0 richieste alle 18:00. Negli istanti tra questi campionamenti, l'intensità segue una legge lineare.
Determinare:
(a) La distribuzione di probabilità del numero di richieste di accesso in un giorno.
(b) Qual è la probabilità che non vi siano richieste d'accesso fino alle 12.
(c) Assumendo che nelle prime due ore di funzionamento siano state registrare due richieste, determinare il loro tempi medi di arrivo.
Svolgimento:
Sia $\lambda(x)$ la funzione di insensità, che risulta chiaramente definita in $10 \leq x \leq 18$. Essa è una funzione continua (ma con punti angolosi nei 'raccordi' ) e si costruisce interpolando i vari nodi con una retta.
$ lambda(x)={ ( 2x-20 \text{ if } 10\leq x\leq 12 ),( x-8 \text{ if } 12 < x\leq 14 ),( -2x+34 \text{ if } 14 < x\leq 16 ),( -x+18 \text{ if } 16 < x\leq 18 ):} $
(a)
Si deve determinare $P(N(s,t)=i)$, con $s,t \in (10,18)$.
Perciò: $P(N(0,24)=i)=P(N(10,18)=i)$.
E' noto che $P(N(s,t)=i) = e^{-[Lambda(t)-Lambda(s)]} \frac{[Lambda(t)-Lambda(s)]^i}{i!}$, con $Lambda(t)=\int_{0}^{t} lambda(x)dx$.
Nel caso in esame si ha $Lambda(18)-Lambda(10)=\int_{10}^{18} lambda(x) dx= [\text{contazzi}]= 24$
Perciò si ha che $P(N(10,18)=i)=e^(-24) \frac{24^i}{i!}$
(b)
Banalmente è $P(N(10,12)=0)= e^(-4)$, per il punto precedente e per $Lambda(12)-Lambda(10)=4$.
(c)
Sia $T_1$ il tempo d'arrivo per la prima richiesta e $T_2$ per la seconda.
$1-F_{T_1}(t) = P(T_1>t) = P(N(0,t)=0)=e^{-Lambda(t)}$.
Differenziando rispetto a $t$ si ha che $f_{T_1}(t)=lambda(t) e^{-Lambda(t)}$.
$Lambda(t)=\int_{0}^{t} 2x - 20 dx = t^2 -20t$, per $t \in (10,12)$.
Allora $\mathbb{E}[T_1] = int_{10}^{12} (t^2 -20t) e^-(2t-20) dt = [e^{t^2-20t}]_{10}^{12} = e^{96}(e^4 - 1)$.
Per quanto riguarda $T_2$, procedendo come sopra :
$P(T_2>t)=P(N(0,t)=1)=e^{-Lambda(t)} Lambda(t)$
$F_{T_2}(t)=1-e-^{Lambda(t)} Lambda(t)$
Differenziando si ha $f_{T_2}(t)=e^-Lambda(t) [1+lambda(t)]$.
A questo punto si integra come prima: $\mathbb{E}[T_2]=\int_{10}^{12} e^-(t^2 -20t) (t^2-20t) \cdot (1+2t-20) dt$
Il mio dubbio sta soprattutto nel terzo punto, a causa di questo integrale (dove nella risoluzione) sicuramente comprarirà $\text{erf({qualcosa})$, il che mi pare strano.
Sto sbagliando qualcosa oppure è tutto ok ?
