variabilie Binomiale

[sportek]

salve, se avessi delle singole vc di tipo $ X={ ( +2 ),( -2 ):} $ con probabilità $p$ per il valore $+2$ e $1-p$ per il valore $-2$ e volessi trovare la funzione di densità della seguente variabile cosa dovrei fare? Sarebbe sempre una binomiale?


partendo dalla definizione della funzione di densità di una vc discreta $ P(X=x)=x_i*p_X(x_i) $

nel caso di una somma da $1$ ad $n$ di queste vc dovrei definire una nuova vc del tipo

$ Y=sum_(i = 1)^ nX_i $


ora qua applicherei la formula della funzione di densità della binomiale


$ P(Y=k)=sum_(j = \1)^n ( (n), (k) ) (2*p)^k(2*(1-p))^(n-k) $


è corretto scrivere una cosa del genere? come potrei fare altrimenti?

è capitata questa domanda l'altro giorno all'esame e non saprei se così sia giusto

[tommik]

Ciò che hai scritto non ha alcun senso....un 2 che moltiplica le probabilità??? Una sommatoria di indice $j$ e nulla dentro che dipenda da $j$??...quindi quella somma vale $n$

Le formule vanno scritte con conoscenza di causa, non a caso.

Il quesito proposto invece è intelligente! La variabile risultante è sempre una binomiale ma con il dominio modificato....non è difficile

Basta costruire una nuova variabile

$Z=(X+2)/4$

Vedi che Z è una bernulliana e quindi sai che $Sigma_i Z_i$ è binomiale. Da qui è facile ricavare il supporto di $Y=Sigma_i X_i$

$Sigma_i Z_i=Sigma_i (X_i+2)/4$

$4Sigma_i Z_i=(Sigma_i X_i)+2n$

$Sigma_i X_i=(4 Sigma_i Z_i)-2n$

Quindi in definitiva trovi sempre la stessa binomiale ma con il seguente supporto

$-2n, -2n+4,...,2n-4,2n$ invece di

$0,1,...,n-1,n$

Formalmente la pmf cercata viene:

$P(Y=4k-2n)=((n),(k))p^k (1-p)^(n-k), k=0,1,2,...,n$




È chiaro?

[sportek]

Tommik allora si tutto chiaro tranne qualcosa allora devo dire la verità mi sono aiutato con un albero binomiale. però il supporto della vc binomiale l'ho trovato anche usando la tua formula $ Y={ ( +6;p^3 ),( +2;3p^2(1-p) ), (-2;3(1-p)^2p),( -6;(1-p)^3 ):} $



e fin qui va bene credo che mi saprei calcolare anche ii momenti.

ciò che non mi è chiaro è da dove togli fuori la formula della funzione massa di densità. cioè quella

Formalmente la pmf cercata viene:

$ P(Y=4k-2n)=((n),(k))p^k (1-p)^(n-k), k=0,1,2,...,n $

un altra cosa è che mi lascia perplesso è il fatto che se non trovassi una vc che riesce a ricondurmi alla bernoulli da cui poi farò la binomiale che faccio?
cambio esercizio??

Comunque ne sai un botto grazie

[tommik]

La formula della pmf che ho scritto, se ci ragioni un attimo, vedi che è semplicemente la pmf di una binomiale $B(n,p)$ ma con il supporto modificato ed è la stessa cosa che hai trovato tu ma scritta in modo compatto e valida per qualunque $n$.
Scritta così, usando la funzione indicatrice, è ancora più compattata:

$P(Y=4k-2n)=((n),(k))p^k (1-p)^(n-k)I_({0;1;2;...;n})(k)$

Come si ricava? Leggi attentamente le considerazioni che ho fatto nel precedente topic e non dovresti avere altri dubbi.

I momenti? Basta usare le proprietà di media e varianza, non serve nemmeno conoscere la pmf...

Es, nel tuo esercizio:

$E(Sigma_i X_i)=n E(X_1)=n[2p-2(1-p)]=4np-2n$

Oppure, usando la pmf che ti ho mostrato:

$Sigma_i X_i=(4Sigma_i Z_i)-2n$

$E(Sigma_i X_i)=4E(Sigma_i Z_i)-2n=4np-2n$

Il momento secondo lo calcoli sfruttando la definizione di varianza e le sue proprietà.

... se non trovassi una vc che riesce a ricondurmi alla bernoulli da cui poi farò la binomiale che faccio?
cambio esercizio??

Ogni esercizio che ti viene dato ha sicuramente almeno una via risolutiva....devi solo ragionare di caso in caso..sul forum ci sono migliaia di esercizi da cui prendere spunto....personalmente ne ho risolti e commentati in modo dettagliato circa duemila....