Distribuzione di probabilità dell'energia cinetica

Messaggioda robytb4e » 14/08/2019, 16:43

Salve, ho bisogno di aiuto riguardo questo esercizio.

Sia una corpo rigido di massa m che si muove nel piano piano X,Y . Siano Vx e Vy le velocità della
massa rispetto ai due assi cartesiani del sistema di rifermiento. Si consideri l’energia cinetica del corpo
pari a $E = 1/2m(Vx^2 +Vy^2)$ . Supposto che Vx, Vy siano due variabili casuali indipendenti distribuite
come una normale standard:
• calcolare la distribuzione di probabilità dell’energia cinetica; (Si tratta di una distribuzione
nota?)
• determinare la media e la varianza di tale distribuzione di probabilità
• Posto m=1 kg, calcolare la probabilità che l’energia cinetica sia maggiore di 3 J.
• Come cambiano i tre punti sopra se invece le due variabili avessero un coefficiente di correlazione
pari a 0.8?


Io ho pensato che essendo Vx e Vy distribuite come una normale standard, elevandole al quadrato e sommandole si ottiene una chi quadro con 2 gdl.
Quindi la distribuzione dell'energia cinetica è uguale a quella della chi quadro con 2 gradi di libertà.
Di conseguenza i valori di media e varianza sono quelli della chi quadro (sostituendo sempre 2 ai gdl). Ottengo media=2 e varianza=2*2=4.
Non avendo i risultati non so se il mio ragionamento è corretto, e soprattutto in questa situazione non saprei come procedere con le 2 domande successive.
robytb4e
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Re: Distribuzione di probabilità dell'energia cinetica

Messaggioda tommik » 14/08/2019, 17:26

Sì il ragionamento è abbastanza corretto ma necessita di alcuni accorgimenti.

L'energia cinetica (che definisco $Z$ per alleggerire la notazione) è

$Z=m/2 (X^2+Y^2)$

Dove $X$ e $Y$ sono le variabili "velocità"

E' vero che la somma delle due gaussiane standard è una chi quadro con due gradi di libertà....ma tu devi trovare la distribuzione di Z, ovvero la distribuzione di una trasformazione di tale distribuzione.

1) notiamo che la chi quadro con due gradi di libertà altro non è che una esponenziale negativa e quindi indichiamo

$W=X^2+Y^2~ Exp(1/2)$

per cui la sua densità è

$f_W(w)=1/2e^(-w/2)$

ora puoi calcolare subito la trasformazione lineare richiesta trovando che

$f_Z(z)=1/m e^(-z/m)$

ovvero una distribuzione esponenziale negativa di parametro $1/m$

penso che ora tu possa proseguire in autonomia...0vviamente media e varianza che hai calcolato sono errate...ma si potevano calcolare anche senza avere la distribuzione dell'energia cinetica...potevi calcolarle correttamente anche partendo dalla tua chi quadro ed usando le proprietà di media e varianza

per favore, le formule
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Re: Distribuzione di probabilità dell'energia cinetica

Messaggioda robytb4e » 14/08/2019, 17:40

Grazie mille!
Scusa se può sembrare una domanda stupida, ma l'unica cosa che non ho capito è il passaggio da $fw(w)$ a $fz(z)$
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Re: Distribuzione di probabilità dell'energia cinetica

Messaggioda tommik » 14/08/2019, 17:53

robytb4e ha scritto:.. l'unica cosa che non ho capito è il passaggio da $fw(w)$ a $fz(z)$


$f_Z(z)=f_W[g^(-1)(z)]|d/(dz)g^(-1)(z)|$

dove

$z=g(w)=m/2w$

:smt039
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Re: Distribuzione di probabilità dell'energia cinetica

Messaggioda robytb4e » 14/08/2019, 18:07

Ok ho capito, mi era sfuggita questa formula.
Grazie ancora
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