Variabile aleatoria composita

Messaggioda ingetor » 09/09/2019, 22:40

E' data una v.a. $X ~ N(0,1)$ e una v.a. $Y$ tale che: $Y(\omega) =$
\begin{cases} X(\omega) & -1<=X(\omega)<=1,\\ 0 & altrove \end{cases}

Trovare la legge $F_{Y}$ espressa in funzione della Gauss std $\phi(t)$1.
$\mathbb{P}_Y$ è assolutamente continua?

Ho impostato la funzione di ripartizione come in seguito: $F_{Y}(t)$=
\begin{cases} \phi(t) - \phi(-1) & -1<=X(\omega)<=1,\\ 0 & altrove \end{cases}

Per il secondo punto, mi verrebbe da dire che la misura $\mathbb{P}_Y$ non può essere assolutamente continua a causa dei punti -1 e 1.

A voi la palla.

Note

  1. Scusate la simbologia del nostro professore, so che voi usate la $\Phi$
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Re: Variabile aleatoria composita

Messaggioda arnett » 10/09/2019, 01:31

Boh non ho capito se hai capito. Quali valori può assumere $Y$ e con quali probabilità?

Inoltre quella non è una funzione di ripartizione accettabile, perché dipende da $\omega$, possibilmente assume valori maggiori di uno, non si capisce neanche come disegnarla una roba così.
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Re: Variabile aleatoria composita

Messaggioda ingetor » 10/09/2019, 23:31

$F_{Y}(t)$=
\begin{cases} 0&se& t<-1,\\\phi(t)-\phi(-1)&se &-1<=t<0,\\\phi(t)-\phi(1) &se& 0<=t<1 ,\\ 1 & se& t>1 \end{cases}

Perché assomigli alla soluzione nella seconda equazione è $\phi(t)+\phi(1)-1$ e nella terza $\phi(t)-\phi(1)+1$
Ultima modifica di ingetor il 10/09/2019, 23:47, modificato 3 volte in totale.
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Re: Variabile aleatoria composita

Messaggioda arnett » 10/09/2019, 23:36

No. Quali valori può assumere $Y$ e con quale probabilità?

Dopo la tua modifica: ancora no. Da come la scrivi $Y$ può assumere tutti i valori tra $-1$ e $1$, e non è così. $Y$ vale $1$ se $|X|\le 1$, e questo avviene con probabilità $0.682$ circa, e vale $0$ altrimenti. In altre parole $Y$ è $Be(0.682)$.
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Re: Variabile aleatoria composita

Messaggioda ingetor » 10/09/2019, 23:54

Si sulla distribuzione ciò è corretto, avevo un po' traviato l'obbiettivo che è la legge (CDF) $F_{Y}(t)$: in ogni caso ancora mancano quelle costanti addittive che mi hanno mandato in banana.
E non capisco perché la distribuzione non è assolutamente continua a causa di t=0 invece che t=-1 e t=1.
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Re: Variabile aleatoria composita

Messaggioda arnett » 11/09/2019, 00:01

Ma ti ho appena detto che è una Bernoulli di parametro $p=0.682$ (circa).

1. Sei convinto di questo?

2. Sapendo che è una Bernoulli, sapresti scrivere $F_Y(y)$?

3. Dato che è una Bernoulli, ti è chiaro che la variabile aleatoria $Y$ non è assolutamente continua?
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Re: Variabile aleatoria composita

Messaggioda ingetor » 11/09/2019, 00:28

No, non lo è. Infatti ho sbagliato a scrivere il testo...
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Re: Variabile aleatoria composita

Messaggioda ingetor » 11/09/2019, 01:52

arnett ha scritto:Boh non ho capito se hai capito. Quali valori può assumere $Y$ e con quali probabilità?

Inoltre quella non è una funzione di ripartizione accettabile, perché dipende da $\omega$, possibilmente assume valori maggiori di uno, non si capisce neanche come disegnarla una roba così.


Ripartiamo da qui.
La funzione di ripartizione viene così:
$F_{Y}(t)=$12
\begin{cases} 0&se& t<-1,\\\phi(t)+(\phi(1)-1 )&se &-1<=t<0,\\\phi(t)+(1-\phi(1)) &se& 0<=t<1 ,\\ 1 & se& t>=1 \end{cases}

Ora si può vedere anche a occhio che il $ lim_(t -> 0^-) F_{Y}(t) != lim_(t -> 0^+) F_{Y}(t) $ e poiché vi è una discontinuità in 0, la distribuzione $\mathbb{P}_{Y}$ non è assolutamente continua.

Note

  1. $\phi(1)-1=-\phi(-1)$ è un termine correttivo usato perché la $F_{Y}(-1)$ valga 0 (termine opposto a nota 2).
  2. $1-\phi(1)$ è un termine correttivo rappresentante la striscia di area in Gauss std da 1 a $+oo$ mancante perché $F_{Y}(1)$ valga realmente 1 ($\mathbb{P}_{Y}$ non dà contributo in $|Y(\omega)|>=1$.
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Re: Variabile aleatoria composita

Messaggioda arnett » 11/09/2019, 19:31

ingetor ha scritto:No, non lo è. Infatti ho sbagliato a scrivere il testo...


Avessi controllato prima magari avremmo evitato questo profondissimo confronto a senso unico alternato...

Ad ogni modo, la funzione di ripartizione ora è giusta; ma sei convinto di come si calcola?
Per l'assoluta continuità l'argomentazione che poni è corretta.
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