Dubbio esercizio su valore atteso

Messaggioda jinsang » 27/06/2020, 16:56

Ho il seguente esercizio.
Si scelgono tre punti a caso sulla circonferenza unitaria $S^1$, individuando così tre archi.
Calcolare il valore atteso dell'arco che contiene $(1,0)$.

Ho impostato il problema come segue:
\( X \sim \text{Unif}([0,2\pi)) \)
\( X_1, X_2, X_3 \) copie i.i.d. di \( X \).
Ho un modo univoco di far corrispondere ad essi tre punti sulla circonferenza tramite la relazione:
\( P_i=(\cos X_i, \sin X_i) \).
Il punto \( (1,0) \) si trova sull'arco che congiunge \( \max{X_i} \) con \( \min{X_i} \).
Tale arco ha lunghezza \( L= 2\pi-\max{X_i}+\min{X_i} \), devo dunque calcolare il valore atteso della v.a. $L$.
Il risultato che ho trovato è \( \mathbb{E}(L)=\pi \).
Questo però cozza con l'intuizione che suggerisce che il valore atteso di uno qualsiasi dei tre archi sia \( 2\pi/3 \).
Ho sbagliato a impostare il problema? Oppure questo dubbio è solo frutto di un'interpretazione "distorta" del problema?
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Re: Dubbio esercizio su valore atteso

Messaggioda Bokonon » 29/06/2020, 12:37

Se ho ben compreso gli archi hanno angoli compresi fra 0 e $2pi$.
La prob che un arco contenga (1,0) è una Bernoulli con $p=3/4$.
3 tentativi sono una binomiale con $n=3$.
Il valore atteso è 9/4
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Re: Dubbio esercizio su valore atteso

Messaggioda tommik » 29/06/2020, 15:13

@Bokonon....no, secondo me non hai capito ciò che chiede l'esercizio. Chiede quanto sia lungo, mediamente, l'arco che contiene il punto $(1;0)$

@jinsang: ovviamente la soluzione intuitiva è quella corretta....ma non basta per risolvere l'esercizio. Lo dobbiamo dimostrare matematicamente

E' abbastanza elementare verificare che la legge della lunghezza dell'arco in questione (uno qualunque dei tre archi, ovviamente) è questa

$f_Z(z)=(2pi-z)/(2pi^2)mathbb{1}_((0;2pi))(z)$

di media

$E(Z)=int_0^(2pi) zf_Z(z)dz=(2pi)/3$
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