Probabilità

[CrisLoveStefy]

Consideriamo 3 scatole: la prima contiene 5 palline rosse e 5 nere, la seconda 3 rosse e 6 nere, la terza 4 rosse e 6 nere. Si estraggono due palline da una scatola (si intende per ogni scatola o una?). Calcolare la probabilità che entrambe le palline siano nere. Se le palline estratte sono nere, qual è la probabilità che siano state estratte dalla prima scatola?

Come risolvere questa cosa?

Grazie per la vostra futura collaborazione

[Tipper]

Dato che il testo non lo dice penso che le tre scatole siano equiprobabili, ad ogni modo: indico con $\omega_i$ il risultato dell'i-esima estrazione, con $A$ la scelta della prima scatola, con $B$ la scelta della seconda, con $C$ la scelta della terza, con $N$ la pallina nera estratta, allora la probabilità richiesta è:
$P(\omega_1 = N \cap \omega_2 = N | A)*P(A) + P(\omega_1 = N \cap \omega_2 = N | B)*P(B) + P(\omega_1 = N \cap \omega_2 = N | C)*P(C)$ =
$P(\omega_2 = N | \omega_1 = N | A)*P(\omega_1 = N | A)*P(A) + P(\omega_2 = N | \omega_1 = N | B)*P(\omega_1 = N | B)*P(B) + P(\omega_2 = N | \omega_1 = N | C)*P(\omega_1 = N | C)*P(C) =$
$ \frac{4}{9}*\frac{1}{2}*\frac{1}{3} + \frac{5}{8} * \frac{2}{3} * \frac{1}{3} + \frac{5}{9} * \frac{3}{5} * \frac{1}{3} = \frac{1}{9} + \frac{5}{24} + \frac{1}{6} =\frac{35}{108} $ a meno di errori di calcolo...
Per il secondo:
$P(A | \omega_1 = N \cap \omega_2 = N) = P(A \cap (\omega_1 = N \cap \omega_2 = N)) * P(\omega_1 = N \cap \omega_2 = N) = $
$P(\omega_1 = N \cap \omega_2 = N) = k$ è già stata calcolata al punto precedente, resta da calcolare:
$P(A \cap (\omega_1 = N \cap \omega_2 = N)) = P((\omega_1 = N \cap \omega_2 = N)|A)/(P(A)) = $
$ = 2*P(\omega_2 = N | \omega_1 = N | A) * P(\omega_1 = N | A) = 2 * 4/9 * 1/2 = 4/9$.
Dunque la probabilità del punto ") è $4/9 * k$.

[spassky]

Penso che estrai due palline da una scatola a caso.
La probabilità che entrambe siano nere è data dalla probabilità che le estrai nere dalla 1a, dalla 2a o dalla 3a :
$1/2*4/9+2/3*5/8+3/5*5/9= 35/36 $
Per il secondo quesito devi usare semplicemente il teorema di Bayes ( risalire alla causa mediante l'effetto)

[Tipper]

Probabilmente (tanto siamo in tema) ho sbagliato qualcosa al punto 1 perché la probabilità calcolata da spassky è tripla della mia...

[Tipper]

spassky ma tu hai considerato il fatto che scegliere una scatola piuttosto che un'altra comporta una probabilità di $\frac{1}{3}$?

[Bandit]

chiaritevi per favore (interessa anche me)

io ho ragionato così per il primo punto
$2/10*2/5*1/3+2/9*1/3*1/3+2/10*3/5*1/3$

[luca.barletta]

La scatola si intende scelta a caso, quindi applicherei il teorema delle probabilità totali sulle variabili ipergeometriche. Per la seconda richiesta applica Bayes

[Tipper]

Beh ... mettiamola così:

P(Tipper ha ragione) = 1 - P(spassky ha ragione)

P(scegliere l'alternativa giusta) =
= P(scegliere Tipper $\cap$ Tipper ha ragione) + P(scegliere spassky $\cap$ spassky ha ragione) =
= P(scegliere Tipper | Tipper ha ragione)/P(Tipper ha ragione) + P(scegliere spassky | spassky ha ragione)/P(spassky ha ragione)

Direi che così non fa una piega ...

[spassky]

Sinceramente il dubbio mi è venuto di dover mettere la probabilità di 1/3 per la scelta delle scatole (supposta uniforme).
Ma per un qualche motivo non l'ho considerato..
E forse ho fatto male...
Carina questa della risposta mia come complemento a 1 della tua....

[Tipper]

Anche perché ripensandoci $\frac{35}{36} \approx 0.97$ è una probabilità un po' troppo alta, significherebbe pescare quasi sempre due palline nere.