deviazione standard

[leonardo12345]

qualcuno mi spiega perchè nella deviazione standard di una popolazione s compare nell'espressione N-1 e non N.

siate "tranquili" non ho grosse conosceze d statistica.....

grazie

ciao

[Piera]

Uno stimatore è detto non distorto quando il suo valore atteso è uguale al valore che si deve stimare.
Se dividi la stima della deviazione standard per N ottieni uno stimatore distorto mentre per N-1 no.
Questa è la motivazione.

[leonardo12345]

va bene questa giustificazione?

[Piera]

La motivazione che conosco è la seguente.
Si dice varianza campionaria associata ad un campione di numerosità $n$ lo stimatore
$s^2=(sum_(i=1)^n(X_i-m)^2)/n$
dove $m$ è la media aritmetica delle $X_i$
In genere, è utile avere uno stimatore corretto, cioè il suo valore atteso deve essere uguale al valore che si deve stimare ( in simboli $Es^2=sigma^2$, dove $sigma^2$ è il valore "vero" della varianza che non si conosce).
Nel nostro caso però si può dimostrare che
$Es^2=E((sum_(i=1)^n(X_i-m)^2)/n)=(n-1)/nsigma^2$
Siccome, come ho detto, si preferisce avere
$Es^2=sigma^2$, occorre moltiplicare $s^2$ per $n/(n-1)$:
$n/(n-1)*s^2=n/(n-1)*(sum_(i=1)^n(X_i-m)^2)/n=(sum_(i=1)^n(X_i-m)^2)/(n-1)$
Pertanto come stima della varianza $sigma^2$ si utilizza $(sum_(i=1)^n(X_i-m)^2)/(n-1)$.
Da questo segue che la deviazione standard assumerà la forma
$sqrt((sum_(i=1)^n(X_i-m)^2)/(n-1))$

[leonardo12345]

ok grazie

[leonardo12345]

piccolo dubbio

è vera (circa) questa uguaglianza $Es^2=s^2$?????

perchè altrimenti come fai a dire che $s^2=(n-1)/nsigma^2$?...dovrebbe essere $Es^2=(n-1)/nsigma^2$

la dim l'ho troovata qui http://wwwcdf.pd.infn.it/labo/book.pdf

pag 59-60-61 del libro non di adobe acrobat.....non riesco a capire da dove prende X* (cosa è?) e perchè aggiunge e toglie X medio

su internet c'è da qualche altra parte sta benedetta dim?

grazie

ciao

[wedge]

io avevo letto qualcosa riguardo la teoria dei gradi di libertà e dei vincoli...
quando si calcola un coefficiente o un momento (quindi la cosa vale per la deviazione standard come per il chi quadro) di una popolazione, onde evitare di avere una sottostima dello stesso al denominatore deve comparire non N ma N-D dove D sono i vincoli, ossia i valori ricavati dai dati che compaiono nella formula.
ad esempio nel calcolo della deviazione standard compare la media, che non è un dato ma un valore ricavato dai dati, quindi si deve avere N-1 al denominatore.
ora la giustificazione di questo non la ricordo... ma è palese che se la popolazione tende ad infinito N-D tende ad N.

[leonardo12345]

sono bloccato...

è vera (circa) questa uguaglianza $Es^2=s^2$?????

wedge l'avevo sentita questa teoria....ma il prof preferisce la dim....

[Piera]

La risposta alla tua domanda è no.

Prima di dimostrarlo faccio la seguente premessa.
Nella formula $s^2=1/nsum_(i=1)^n(X_i-m)^2$
si ipotizza che le $X_i$ siano variabili casuali indipendenti ed identicamente distribuite con media $mu$ e varianza $sigma^2$.
La media campionaria $m=1/nsum_(i=1)^nX_i$ verifica le seguenti identità
$Em=1/nE(sum_(i=1)^nX_i)=n/nEX_1=mu$
$Var(m)=1/n^2sum_(i=1)^nVar(X_i)=1/n^2nVar(X_1)=sigma^2/n$.
Poichè $Var(m)=Em^2-(Em)^2$ si ha
$Em^2=Var(m)+(Em)^2=sigma^2/n+mu^2$ (1)

Scriviamo $s^2$ in una forma più conveniente per i nostri scopi.
$s^2=1/nsum_(i=1)^n(X_i-m)^2=1/n((X_1-m)^2+(X_2-m)^2+...+(X_n-m)^2)$ svolgendo i calcoli si ha
$s^2=1/nsum_(i=1)^nX_i^2+m^2-2m*1/nsum_(i=1)^nX_i=$
$=1/nsum_(i=1)^nX_i^2+m^2-2m^2=1/nsum_(i=1)^nX_i^2-m^2$.

Calcoliamo il valore atteso di $s^2$:
$Es^2=E(1/nsum_(i=1)^nX_i^2-m^2)=1/nE(sum_(i=1)^nX_i^2)-Em^2=n/nE(X_1^2)-Em^2=$ utilizzando la (1)
$=E(X_1^2)-sigma^2/n-mu^2=Var(X_1)+(EX_1)^2-sigma^2/n-mu^2=sigma^2+mu^2-sigma^2/n-mu^2=(n-1)/nsigma^2$.

Pertanto $s^2$ non è corretto, moltiplicando $s^2$ per $n/(n-1)$ si ottiene quello che ho detto in un post precedente.