Probabilità

[matteo_molte]

qualcuno è in grado di aiutarmi col seguiente problema??

Siano { $X_n$ } delle variabili aleatoria di Bernoulli di parametro p e sia $ S_n = sum_(k=1)^nX_k$. determinare la varianza della varibile aleatoria $E(X_n | S_n)$

Grazie mille a tutti,

Saluti,

Matteo

[matteo_molte]

determinare la varianza della varibile aleatoria $E(X_n | S_n)$

ah, dimenticavo, nel caso nn si capisse, che $E(X_n | S_n)$ è il valore atteso di $X_n$ condizionato a $S_n$

[luca.barletta]

Hai la soluzione?

[matteo_molte]

purtroppo no. era l'ultimo esercizio del tema d'esame scorso, del quale nn sono state publicate le correzioni...

io avevo pensato di impostarlo partendo dalla relazione $X_n = S_n - S_(n-1)$ solo che nn so fino a che punto possa risultare ocrretta..

$E(S_n - S_(n-1) | S-n) = E(S_n|S_n) - E(S_(n-1)|S_n) = E(S_n) - E(S_(n-1)|S_n)$ .......

[luca.barletta]

Sì, è un buon procedimento. Io ne stavo seguendo un altro tenendo conto che $S_n$ è una binomiale di parametri $(np,np(1-p))$

[Piera]

Indichiamo con $X=E(X_n|S_n)$.
Allora $Var(E(X_n|S_n))=Var(X)=EX^2-(EX)^2$
Quindi occorre calcolare $EX^2$ e $EX$.

Il valore atteso condizionato nel caso discreto è dato da
$E(Y|X=x_s)=sum_(i=1)^ny_i*P(Y=y_i|X=x_s)$.
Tenendo presente questa definizione, si ha
$E(X_n|S_n=k)= 1*P(X_n=1|S_n=k)+0*P(X_n=0|S_n=k)= P(X_n=1|S_n=k)$
con $k=0,1,…,n$
$P(X_n=1|S_n=k)=(P(X_n=1 , S_n=k))/(P(S_n=k))= (P(X_n=1 , S_(n-1)+X_n=k))/(P(S_n=k))=$
$= (P(X_n=1 , S_(n-1)=k-1))/(P(S_n=k))=(P(X_n=1)*P(S_(n-1)=k-1))/(P(S_n=k))=$
$=p*((n-1),(k-1))*p^(k-1)*(1-p)^(n-k)*1/(((n),(k))*p^k*(1-p)^(n-k))=$
$((n-1),(k-1))*1/(((n),(k)))=((n-1)!)/((k-1)!(n-k)!)* ((k)!(n-k)!)/(n!)=k/n$
(nell’ultimo passaggio ho sfruttato il fatto che $(k!)=k(k-1)!$ e $(n!)=n(n-1)!$).
Pertanto si ha $E(X_n|S_n=k)=k/n$.
$EX$, ovvero $E(E(X_n|S_n))$ è per definizione dato da
$EX=sum_(k=0)^nE(X_n|S_n=k)*P(S_n=k)= sum_(k=0)^nk/n*((n),(k))*p^k*(1-p)^(n-k)=$
$=1/n* sum_(k=0)^nk*((n),(k))*p^k*(1-p)^(n-k)=1/n*E(Y)=1/n*np=p$
dove $Y$ è una variabile binomiale.
Riassumendo $EX=p$ ( allo stesso risultato si poteva arrivare applicando la proprietà
$E(E(X_n|S_n))=E(X_n)=p)$).
Resta da calcolare $EX^2$.
Procedendo come sopra si ha
$EX^2= sum_(k=0)^nE^2(X_n|S_n=k)*P(S_n=k)= 1/n^2sum_(k=0)^nk^2*P(S_n=k)=$
$1/n^2 *E(Y^2)=1/n^2*(npq+n^2p^2)=(pq)/n+p^2$
dove $Y$ è una binomiale e $Var(Y)=EY^2-(EY)^2$, da cui $EY^2=Var(Y)+(EY)^2=npq+n^2p^2$.
Finalmente possiamo calcolare la varianza richiesta:
$Var(x)=EX^2-(EX)^2=(pq)/n+p^2-p^2=(pq)/n$.