da Piera » 17/07/2006, 23:41
Indichiamo con $X=E(X_n|S_n)$.
Allora $Var(E(X_n|S_n))=Var(X)=EX^2-(EX)^2$
Quindi occorre calcolare $EX^2$ e $EX$.
Il valore atteso condizionato nel caso discreto è dato da
$E(Y|X=x_s)=sum_(i=1)^ny_i*P(Y=y_i|X=x_s)$.
Tenendo presente questa definizione, si ha
$E(X_n|S_n=k)= 1*P(X_n=1|S_n=k)+0*P(X_n=0|S_n=k)= P(X_n=1|S_n=k)$
con $k=0,1,…,n$
$P(X_n=1|S_n=k)=(P(X_n=1 , S_n=k))/(P(S_n=k))= (P(X_n=1 , S_(n-1)+X_n=k))/(P(S_n=k))=$
$= (P(X_n=1 , S_(n-1)=k-1))/(P(S_n=k))=(P(X_n=1)*P(S_(n-1)=k-1))/(P(S_n=k))=$
$=p*((n-1),(k-1))*p^(k-1)*(1-p)^(n-k)*1/(((n),(k))*p^k*(1-p)^(n-k))=$
$((n-1),(k-1))*1/(((n),(k)))=((n-1)!)/((k-1)!(n-k)!)* ((k)!(n-k)!)/(n!)=k/n$
(nell’ultimo passaggio ho sfruttato il fatto che $(k!)=k(k-1)!$ e $(n!)=n(n-1)!$).
Pertanto si ha $E(X_n|S_n=k)=k/n$.
$EX$, ovvero $E(E(X_n|S_n))$ è per definizione dato da
$EX=sum_(k=0)^nE(X_n|S_n=k)*P(S_n=k)= sum_(k=0)^nk/n*((n),(k))*p^k*(1-p)^(n-k)=$
$=1/n* sum_(k=0)^nk*((n),(k))*p^k*(1-p)^(n-k)=1/n*E(Y)=1/n*np=p$
dove $Y$ è una variabile binomiale.
Riassumendo $EX=p$ ( allo stesso risultato si poteva arrivare applicando la proprietà
$E(E(X_n|S_n))=E(X_n)=p)$).
Resta da calcolare $EX^2$.
Procedendo come sopra si ha
$EX^2= sum_(k=0)^nE^2(X_n|S_n=k)*P(S_n=k)= 1/n^2sum_(k=0)^nk^2*P(S_n=k)=$
$1/n^2 *E(Y^2)=1/n^2*(npq+n^2p^2)=(pq)/n+p^2$
dove $Y$ è una binomiale e $Var(Y)=EY^2-(EY)^2$, da cui $EY^2=Var(Y)+(EY)^2=npq+n^2p^2$.
Finalmente possiamo calcolare la varianza richiesta:
$Var(x)=EX^2-(EX)^2=(pq)/n+p^2-p^2=(pq)/n$.