Semplici dimostrazioni per voi

[mick86]

Come dovrei dimostrare questi due teoremi sulla media e sulla varianza. Grazie.
1) Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)

2) M(X+Y)= M(X)+M(Y)

[nicola de rosa]

Come dovrei dimostrare questi due teoremi sulla media e sulla varianza. Grazie.
1) Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)

2) M(X+Y)= M(X)+M(Y)

Sia E l'operatore media statistica:
1)Per definizione di varianza si ha:
Var[X+Y]=E[(X+Y)^2]-(E[X+Y])^2=E[X^2+Y^2+2XY]-(E[X]+E[Y])^2=
(E[X^2]-(E[X])^2)+(E[Y^2]-(E[Y])^2)+2(E[XY]-E[X]E[Y])
dove in tali uguaglianza si è sfruttata la linearità della media, cioè il risultato 2)
Ora
(E[X^2]-(E[X])^2)=Var[X]
(E[Y^2]-(E[Y])^2)=Var[Y]
E[XY]-E[X]E[Y]=Cov[X,Y] per definizione
Così
Var[X+Y]=Var[X]+Var[Y]+2Cov[X,Y]

2)Poichè la media per definizione è un integrale (per v.a continue, e una serie per v.a discrete), per la linearità dell'integrale vale anche la linearità della media.
Lo puoi dimostrare anche analiticamente sfruttando le pdf.
Nella dimostrazione indico con S il segno di integrale, f(X) la pdf di X, f(Y) la pdf di Y e f(X,Y) la pdf congiunta.
E[X+Y]=SS(x+y)f(X,Y)dxdy=SSxf(X,Y)dxdy+SSyf(X,Y)dxdy
Ora
SSxf(X,Y)dxdy=S(Sf(X,Y)dy)xdx=Sf(X)*xdx=E[X]dove ho sfruttato che Sf(X,Y)dx=f(Y) la proprietà delle pdf marginali.
Analogamente SSyf(X,Y)dxdy=E[Y] allo stesso modo
Per cui:
E[X+Y]=E[X]+E[Y]