densità di probabilità

Messaggioda in_me_i_trust » 05/09/2006, 18:23

vi do il testo di un esercizietto che non riesco a risolvere:
Due variabili aleatorie X e Y indipendenti sono distribuite uniformemente in [0,1] ,allora la variabile aleatoria Z=X+Y ha densità

f(z)=z se z apparitene a [1,2]

f(z)=0 se z>2

f(z)=1+z^2 se z appartiene a [1,2]

f(z)=-2 se z appartiene a [-1,1]

allora ovviamente non può essere l'ultima perchè per definizione di densità deve essere maggiore uguale di 0...ma le altre? dal fatto che le X e Y sono distribuite uniformemente e sono indipendenti ottengo che la densità congiunta dovrebbe essere 1 giusto?ma poi non so che pesci pigliare...vi ringrazio x ogni suggerimento

Simone B.
^^
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Messaggioda luca.barletta » 05/09/2006, 19:34

L'unica risposta corretta è la seconda. I valori possibili di Z sono evidentemente [0,2]. La ddp di Z è triangolare (convoluzione delle ddp di X e Y).
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Messaggioda in_me_i_trust » 05/09/2006, 19:51

ti ringrazio ho visto sul libro di testo che parlava di convoluzione in un esercizio simile a questo e persino andando dal mio prof mi ha disegnato il triangolino liberandosi di me in 5 minuti..però io vorrei capire come viene fuori sto triangolino..uff deve essere una cosa semplice ma non riesco proprio a tirarlo fuori analiticamente..
^^
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Messaggioda luca.barletta » 05/09/2006, 21:05

Parti da questo esempio semplice: X e Y siano il risultato del lancio di due dadi diversi; quindi X e Y avranno ddp discrete uniformi. Ora considera Z=X+Y, ovvero la somma di due dadi. Prova a scrivere per esteso la probabilità di ogni risultato possibile per Z; ti accorgerai che la ddp è triangolare. Da questo esempio prova a dedurre la formula generale di $f_Z(z)$, dovresti trovare la somma di convoluzione (v.a. discreta).
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Messaggioda Thomas » 06/09/2006, 11:41

Non so niente o quasi di queste cose, a parte le poche nozioni di laboratorio1 :-D ... Intuitivamente io farei così:

Ad x fissato si conosce la distribuzione di x+y, basta traslare questa di x. Se ora mettiamo in un grafico (t,u,v) in tre step:

- nel piano di coordinata $x_0$ sull'asse t disegniamo la distribuzione di $x_0+y$. Se il valore $x_0$ non è possibile che esca mettiamo 0;

- ora bisogna pesare in qualche modo la x con la probabilità di ottenerla, quindi moltiplichiamo tutti i valori segnati per $p(k)$, ove con $k$ intendo il valore della loro coordinata lungo $t$ e $p(x)$ è la funzione di distribuzione della $x$;

- si normalizza il tutto di modo che il volume sotteso sia 1;

Fatta questa costruzione nelle mie intenzioni si dovrebbe avere che il volume tra i semipiani $u=m$ e $u=m+dm$ deve dare la probabilità che la funzione somma sia compresa tra $m$ ed $m+dm$... da cui si ricava la funzione di distribuzione...

nel caso di in_me_I_trust mi pare funzionare... anche se ovviamente molti punti della costruzione non mi convincono...

secondo voi tiene senso?????
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Messaggioda Thomas » 06/09/2006, 22:09

Finisco il lavoro generalizzando la questione, visto che ho appena controllato sulla rete che il risultato viene... solo non mi ero accorto che la costante di normalizzazione è sempre 1.

per quanto detto sopra, se chiamo $f$ e $g$ le funzioni di distribuzione della x e della y, mentre z quella della variabile somma si ha (eguaglio il volume che dico nel post precedente al risultato):

$int_0^m int_(-infty)^(+infty) f(x)g(y-x)dydx=int_0^m z(k)dk$

ove nell'integrale doppio gli estremi iniziali sono riferiti prima alla y dopo alla x... (non ho fatto integrali doppi ad analisi, quindi potrebbe essere errato, cmq...).

Se considero la derivata rispetto ad $m$ delle funzioni sopra ho:

$z(m)=int_(-infty)^(+infty) f(x)g(m-x)dx$

che coincide perlomeno con una formula che ho trovato sulla rete...

non so se tutto questo possa servire a qualcuno, cmq...
Thomas
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