Esercizio Probabilità

Messaggioda Bandit » 11/09/2006, 18:22

Codice:
                A             B
       |---------/-----------/-----------|
X----- |               C                  |---------Y
       |-------------/--------------------|
       |           D              E        |
       |--------/----------------/--------|


Ho questo circuito A,B,C,D,E sono interruttori aperti o chiusi con probabilità =. ed indipendente l'uno dall'altro.
Calcola:
1.probabilità che c'è continuità elettrica:cioè che tutti gli interruttori sono chiusi. $P(W)$
2. $P(W $/A è chiuso)
3. P(A è chiuso / W)
il primo ci sono riuscito: P(W)= P(1°ramo è chiuso)+P(1°ramo aperto,2°chiuso)+P(1°aperto,2°aperto,3°chiuso)=$1/2*1/2+3/4*1/2+3/4*1/2*1/4=23/32$

ora gli altri 2 punti come li calcolo?
so che la seconda richiesta è = 13/16
ciao e grazie della mano
Bandit
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Messaggioda Cheguevilla » 11/09/2006, 18:43

Si usa Bayes.
Se quando arrivo a casa nessuno ha risposto, ti rspondo io.
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Messaggioda Bandit » 11/09/2006, 19:49

ci avevo pensato ma non so P(A/W)
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Messaggioda Cheguevilla » 11/09/2006, 21:50

Definiamo $X_1$ l'evento "interruttore X chiuso" e $X_0$ l'evento "interruttore X aperto$.
Il secondo lo puoi vedere come il primo, però devi tener presente che la probabilità che il primo ramo sia chiuso è $(P(A_1nnB_1))/(P(A_1))$.
Essendo A e B indipendenti per ipotesi, risulta:
$(P(A_1)P(B_1))/(P(A_1))=P(B_1)=1/2$.
Quindi:
$P(W|A_1)=P(B_1)+P(B_0)P(C_1)+P(B_0)P(C_0)P(D_1)P(E_1)=1/2+1/4+1/16=13/16$.
Ora posto il terzo.
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Messaggioda Cheguevilla » 11/09/2006, 22:20

$P(A_1|W)$:
Dal teorema di Bayes, sappiamo che:
$P(F_k|E)=(P(E|F_k)P(F_k))/( sum_(i=1)^{n}P(E|F_i)P(Fi))$
Quindi:
$P(A_1|W)=(P(W|A_1)P(A_1))/((P(B_1)P(A_1))/3+(P(C_1))/3+(P(D_1)P(E_1))/3)$
Sapendo che il denominatore vale $P(W)$, risulta:
$P(A_1|W)=(P(W|A_1)P(A_1))/(P(W))$
Sappiamo che $P(W|A_1)=13/16$, $P(A_1)=1/2$ e $P(W)=23/32$.
Pertanto:
$P(A_1|W)=(13/16*1/2)/(23/32)=13/23$

Scusa il ritardo, ma sono uscito da poco... :(
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Messaggioda Bandit » 12/09/2006, 10:59

cheguevilla ha scritto:Definiamo $X_1$ l'evento "interruttore X chiuso" e $X_0$ l'evento "interruttore X aperto$.
Il secondo lo puoi vedere come il primo, però devi tener presente che la probabilità che il primo ramo sia chiuso è $(P(A_1nnB_1))/(P(A_1))$.
Essendo A e B indipendenti per ipotesi, risulta:
$(P(A_1)P(B_1))/(P(A_1))=P(B_1)=1/2$.
Quindi:


la prima parte potevo anche non fare tutti i tuoi passaggi? cioè o è aperto o è chiuso B, quindi c'è 1/2 di possibilità che sia aperto o chiuso.
cheguevilla ha scritto:$P(W|A_1)=P(B_1)+P(B_0)P(C_1)+P(B_0)P(C_0)P(D_1)P(E_1)=1/2+1/4+1/16=13/16$.

questo quindi è proprio uguale alla prima richiesta
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Messaggioda Bandit » 12/09/2006, 11:02

cheguevilla ha scritto:$P(A_1|W)$:
Dal teorema di Bayes, sappiamo che:
$P(F_k|E)=(P(E|F_k)P(F_k))/( sum_(i=1)^{n}P(E|F_i)P(Fi))$
Quindi:
$P(A_1|W)=(P(W|A_1)P(A_1))/((P(B_1)P(A_1))/3+(P(C_1))/3+(P(D_1)P(E_1))/3)$
Sapendo che il denominatore vale $P(W)$, risulta:
$P(A_1|W)=(P(W|A_1)P(A_1))/(P(W))$
Sappiamo che $P(W|A_1)=13/16$, $P(A_1)=1/2$ e $P(W)=23/32$.
Pertanto:
$P(A_1|W)=(13/16*1/2)/(23/32)=13/23$

Scusa il ritardo, ma sono uscito da poco... :(


questo mi sono fermato alla legge di bayes, e non sono andato avanti.
io la legge la sapevo così:
$P(F_k|E)=(P(E|F_k)P(F_k))/(P(E))

però conoscendo la $(P(W|A_1)$ calcolata prima, mi trovo
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Messaggioda Cheguevilla » 12/09/2006, 11:33

cheguevilla ha scritto:$P(W|A_1)=P(B_1)+P(B_0)P(C_1)+P(B_0)P(C_0)P(D_1)P(E_1)=1/2+1/4+1/16=13/16$.

Bandit ha scritto:questo quindi è proprio uguale alla prima richiesta
Non capisco cosa vuoi dire.

la prima parte potevo anche non fare tutti i tuoi passaggi? cioè o è aperto o è chiuso B, quindi c'è 1/2 di possibilità che sia aperto o chiuso.
Si, però facendo tutti i passaggi, si vede chiaramente cosa inserire nel terzo punto.

io la legge la sapevo così:
$P(F_k|E)=(P(E|F_k)P(F_k))/(P(E))$
Vero.
Infatti, $P(E)=sum_(i=1)^{n}P(E|F_i)P(Fi)$ per il teorema della probabilità totale.

Tutto chiaro?
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Messaggioda Bandit » 12/09/2006, 11:58

cheguevilla ha scritto:
cheguevilla ha scritto:$P(W|A_1)=P(B_1)+P(B_0)P(C_1)+P(B_0)P(C_0)P(D_1)P(E_1)=1/2+1/4+1/16=13/16$.

Bandit ha scritto:questo quindi è proprio uguale alla prima richiesta
Non capisco cosa vuoi dire.

la prima parte potevo anche non fare tutti i tuoi passaggi? cioè o è aperto o è chiuso B, quindi c'è 1/2 di possibilità che sia aperto o chiuso.
Si, però facendo tutti i passaggi, si vede chiaramente cosa inserire nel terzo punto.

io la legge la sapevo così:
$P(F_k|E)=(P(E|F_k)P(F_k))/(P(E))$
Vero.
Infatti, $P(E)=sum_(i=1)^{n}P(E|F_i)P(Fi)$ per il teorema della probabilità totale.

Tutto chiaro?

per la prima cosa: quindi il metodo di procedimento è lo stesso della prima domanda del problema, giusto?
per il secondo ok, ci siamo tnx ora me lo studio ben bene :-)
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Messaggioda Cheguevilla » 12/09/2006, 12:42

per la prima cosa: quindi il metodo di procedimento è lo stesso della prima domanda del problema, giusto?
Più o meno sì.
Tieni presente che nel secondo hai un evento condizionante, cioè sai che A è chiuso. Certamente, il procedimento è lo stesso se consideriamo la probabilità del ramo in sè, tenendo presente che tra il primo ed il secondo punto questa è diversa.
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