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Problema con variabile aleatoria

13/09/2006, 12:50

Ho per esempio X variabile aleatoria, che può assumere con equiprobabilità ${-pi/6,-pi/2,0,pi/2,pi}$. Calcola CDF, PDF e media della variabile aleatoria:
1)Y=$sin(X)$
2)Z=$|Y+W|$ con W che è v.a. di Bernoulli indipendente da Y
3) Z=$N_1+sign (N_2)$ dove $N_1$ e $N_2$ sono variabili al. gaussiane indipendenti con media 2 e varianza 16.

il 1) Y=$sin(X)$ assume valori ${-1/2,-1,0,1,0}$ quindi P (Y$=-1$)=$1/5$ ; P ($Y=-(1/2)$)=$1/5$; P ($Y=0$)=$2/5$

quindi la media è $-1/2*1/5-1*1/5+1*1/5$ cioè la sommatoria di x*p
e la cdf, viene una specie di scala (intendo il grafico),pdf invece degli impulsi centrati in ${-1/2,-1,0,1,0}$
questo mi è chiaro

2)Z assume valori ${1/2,1,0,2}$ ed W invece ${0,1}$
quindi P($ Z=1$)=P{$(Y=1,W=0) U (Y=0,W=1) U (Y=-1,W=0)}$=$1/5*1/2+2/5*1/2+1/5*1/2$
qui è finito?se si l'ho capito

3) N può assumere valori {1 per $N_2>0$; -1 per $N_2<0} con N si considera $sign (N_2)$

P($N=1$)=P($N_2>0$)=$1-Q(1/2)$
$f_z(z)$ =$f_z$(z/$N=1$) *P($N=1$)+ $f_z$(z/$N=-1$) *P($N=-1$) come faccio a capire che si fa così?cioè questo è il procedimento ma perchè?
e basta?

questi tipi di esercizi si risolvono sempre così? o ci sono altre varianti?

ciao

EDIT: Grazie luca :-)
Ultima modifica di Bandit il 13/09/2006, 19:58, modificato 4 volte in totale.

13/09/2006, 17:35

Due cose da correggere:
1) $E[Y]=-1/2*1/5-1*1/5+1*1/5=-1/10$

2) é Z che assume i valori ${1/2,1,0,2}$ e non Y


Un chiarimento sulla tua soluzione del 3) : chi é N? il testo del 3) è corretto?

13/09/2006, 18:25

luca.barletta ha scritto:Due cose da correggere:
1) $E[Y]=-1/2*1/5-1*1/5+1*1/5=-1/10$

2) é Z che assume i valori ${1/2,1,0,2}$ e non Y


Un chiarimento sulla tua soluzione del 3) : chi é N? il testo del 3) è corretto?

grazie luca della segnalazione: ho corretto, cmq si è corretto.

13/09/2006, 18:42

Nella soluzione del 3): N può assumere i valori 1 e -1, non 1 e 2.

Quella formula che hai scritto nella soluzione del 3 non è altro che il teorema delle prob totali, ovvero:

$f_z(z) = sum_i f_z(z|A_i)P(A_i)$

dove $A_i$ sono eventi tali che siano una partizione dello spazio campionario.

13/09/2006, 20:01

giusto , grazie ancora.
si l'avevo intuito che era la formula delle probabilità totali, ma come facci o a sapere se si deve usare questa o un altra, in un esercizio simile? la domanda vale anche per gli altri 2 pt.
cioè ho avuto questo problema davanti e non l'ho saputo fare, ora vedendo la soluzione +o- mi trovo,però che ragionamento devo fare quando un problema mi chiede la cdf,pdf, media? considerando anche il fatto che ogni variabile vuole il suo modo per calcolarsi la media?

13/09/2006, 20:31

Quando per trovare dei risultati fai delle ipotesi, allora devi usare le probabilità condizionate. Quando queste ipotesi hanno a che fare con variabili aleatorie, allora il più delle volte devi usare il th delle prob totali, proprio come nel punto 3.
L'importante, ripeto, è che quando trovi un risultato devi ricordarti se hai imposto o meno delle ipotesi per trovare quel risultato (condizionamento dello spazio campionario).

14/09/2006, 12:57

e nel 2) la cdf e la pdf?
e nel 3) la cdf basta solo integrare il risultato ottenuto?
e la media di 2) e 3)?

14/09/2006, 14:02

Per trovare cdf, pdf e medie puoi procedere come hai fatto nel punto 1

15/09/2006, 12:27

quindi quello che ho scritto nel punto 2 è la cdf, che poi derivando ho la pdf? e la media?

invece nel punto 3, mi sono calcolato la pdf, ed integrando ottengo la cdf?

se si rispetto a chi si integra e si deriva?

o si fa solo il grafo?

15/09/2006, 14:49

Nel punto 2 hai calcolato la pdf, integrando troverai la cdf. Per la media applichi la def:
$E[Z] = sum_z z*P(Z=z)$

Nel punto 3 devi trovare la cdf integrando rispetto alla variabile aleatoria di interesse, in questo caso z.
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