composizione di una variabile aleatoria è una V.A.

salve a tutti, non riesco a capire una dimostrazioncina a causa probabilmente di alcune mie lacune matematiche.Sia $(S,A,P)$ uno spazio di probabilità, Bisogna dimostrare che presa una funzione $g:RR->RR$ continua e data una variabile aleatoria $X:S->RR$ allora $g@X$ è ancora una variabile aleatoria, cioè ${s in S | g(X(s))<=x}$ deve essere un evento $AAx in RR$.

vi riporto la dimostrazione con le mie obiezioni fra parentesi.

Ci si convince che ${s | g(X(s))<x}=X^(-1){y | g(y)<x}$ (questa non riesco proprio a vederla bo..), però ${y | g(y)<x}$ è un'unione finita o infinitamente numerabile di intervalli aperti (e questo come si fa a dire ba..) cioè ${y | g(y)<x}=uuuI_(n)$ con $I_(n)sub RR$.Quindi ${s in S | g(X(s))<=x}=X^(-1)(uuu I_(n))=uuu X^(-1)(I_(n))$ (anche questa non mi sembra tanto ovvia).Ma la retroimmagine $X^(-1)(I_(n))$ dell'intervallo $I_(n)$ è un evento poichè $X$ è una variabile aleatoria (ma..mica mi convince fino in fondo..).Quindi ${s in S | g(X(s))<=x}$ è un'unione al più numerabile di eventi ed è quindi un evento.Cioè la composizione $g@X$ è una variabile aleatoria.