Probabilità

Messaggioda fireball » 28/10/2006, 14:21

Un collezionista ha già raccolto 60 delle 100 figurine di un album.
Egli acquista una busta contenente 24 figurine (tutte diverse),
tra le quali naturalmente ve ne possono essere alcune che egli già
possiede. Qual è la probabilità che, tra le figurine appena
acquistate, ve ne siano più ($>=$) di 20 di quelle che
egli già possiede? In media quante "nuove" figurine troverà nella busta?

Io ho ragionato così: introducendo la variabile aleatoria X che conta
il numero di "nuove" figurine, ovvero delle figurine che NON sono
uguali a quelle già possedute dal collezionista, occorre calcolare:
$P{X<=4}$. Ogni figurina ha probabilità $p=1/24$ di trovarsi nella
busta, dato che ognuna è diversa dalle altre, inoltre il fatto che
una figurina sia "nuova" non dice nulla sulla tipologia delle altre
figurine, cioè sono tutti eventi indipendenti. Possiamo allora applicare
lo schema successo-insuccesso di Bernoulli (o binomiale), cioè la
probabilità di avere $k$ successi in $n$ prove indipendenti:
$p(k)=((n),(k))p^k(1-p)^(n-k)
dove $p$ è la probabilità di successo.
In questo caso noi dobbiamo calcolare $P{X=k<=4}$ quindi la
probabilità richiesta sarà:
$P{k<=4}=sum_(k=0)^4 ((24),(k))(1/24)^k(23/24)^(24-k)
e la media sarà:
$E[k]=sum_(k=0)^oo k* ((24),(k))(1/24)^k(23/24)^(24-k)$.
Il ragionamento è corretto?
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Messaggioda fireball » 28/10/2006, 14:34

Ho dei dubbi sul fatto che il coefficiente binomiale
$((24),(k))$ vada inserito o no nella sommatoria... Che ne dite?
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Messaggioda Kroldar » 28/10/2006, 14:40

Scusa fire, volevo leggere tutto il problema ma mi è venuto un dubbio già all'inizio: la probabilità che una figurina sia contenuta nella busta non è $24/100=6/25$?
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Messaggioda fireball » 28/10/2006, 14:42

Io penso che non c'entrino i dati che ti dà all'inizio,
ovvero un album di 100 figurine in tutto, di cui
60 sono già state incollate...
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Messaggioda fireball » 28/10/2006, 14:43

Ho pensato che fosse uno schema successo-insuccesso
proprio perché nella busta puoi trovare $k$ doppioni
e $n-k$ non doppioni... E ogni figurina ha prob. $1/24$.
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Messaggioda Cheguevilla » 28/10/2006, 14:47

No, non è corretto.
Il testo dice che le figurine all'interno di una bustina sono tutte diverse.
Il tutto è assimilabile al gioco del lotto.
Se le figurine all'interno della bustina potessero anche essere uguali, avremmo un evento con reinserimento, ma in questo caso non c'è reinserimento.
Trasformiamo l'esercizio in un equivalente:
Ho un'urna con 100 palline di cui 60 rosse e 40 nere.
Pesco 24 palline contemporaneamente (o senza reinserimento):
Qual'è la probabilità di aver preso un numero di palline rosse maggiore o uguale a 20?
Si risolve con la variabile aleatoria ipergeometrica:
$P(X=x)=(((Np),(x))((Nq),(n-x)))/(((N),(n)))$
Dove:
$N$ è il numero di oggetti (100).
$n$ è il numero di oggetti estratti (24).
$Np$ è il numero di oggetti favorevoli (40), che può essere visto anche come $N*p$, dove p è la probabilità di ottenere un successo.
$Nq$ è il numero di oggetti sfavorevoli (60), che può essere visto anche come $N*q$ con $q=1-p$.
$x$ è il numero di successi che si vogliono ottenere.
Nel nostro caso, sarà necessario il ricorso alla funzione di ripartizione:
$P(X>=x)=sum_(i=x)^n(((Np),(i))((Nq),(n-i)))/(((N),(n)))$
$P(X>=20)=sum_(i=20)^24(((40),(i))((60),(24-i)))/(((100),(24)))$
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Messaggioda Kroldar » 28/10/2006, 14:48

Indichiamo le $100$ diverse figurine con $A_1, A_2, ..., A_100$ e fissiamo una generica figurina $A_k$. Se prendo a caso $1$ figurina tra le $100$ totali, qual è la probabilità di beccare $A_k$? Ovviamente $1/100$. Ora prendere $24$ figurine diverse vuol dire considerare eventi mutuamente esclusivi e quindi la probabilità dell'unione di questi elementi sarà pari alla somma delle singole probabilità, perciò $1/100 * 24 = 24/100$... no?
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Messaggioda fireball » 28/10/2006, 14:51

Grazie ad entrambi... Volevo usare l'ipergeometrica
ma avevo completamente sbagliato ad impostarla!
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Messaggioda Cheguevilla » 28/10/2006, 14:53

Quella che hai usato nel primo post è la binomiale.
PS la media per l'ipergeometrica è sempre $mu=np$.
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Messaggioda fireball » 28/10/2006, 14:56

Sì sì lo so che nel primo post ho usato quella binomiale...
Ho tentato quella strada perché avevo usato l'ipergeometrica
e mi veniva $1/((24),(k))$ che non era corretto
perché la sommatoria veniva > 1...
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