Calcolo delle probabilità

Messaggioda ryan_vespucci » 30/10/2006, 11:19

Ciao a tutti,
sto cercando di risolvere un problema di calcolo delle probabilità, ma non sono sicuro che il mio risultato sia giusto.
Il problema è (spero di averlo formulato chiaramente):

Abbiamo un'urna contenente N palline. Di queste, B sono bianche e R = (N - B) sono rosse. Qual'è la probabilità di estrarre almeno 2 palline bianche pescandone 7 in contemporanea?

Io ho provato a risolverlo così: $P(X>=2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$
La formula per calcolare P(X = x) ho pensato possa essere (a*b)/c , dove:
a = $(B!)/[(B-x)!*x!]$ cioè tutti i modi di pescare esattamente x palline bianche
b = $(R!)/[(R-(7-x))!*(7-x)!]$ cioè i restati modi di pescare le palline nere nelle 7 estratte
c = $(N!)/[(N-7)!*7!]$ cioè tutti i modi possibili di estrarre 7 palline

Sapreste dirmi se il mio risultato è corretto?
Grazie mille, ciao!
Dalla conoscenza, il potere
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Messaggioda lupo grigio » 30/10/2006, 12:18

Problemi di questo genere sono tutti basati sulla formula che da la probabilità che si verifichino $k$ eventi su $n$ possibili. Se $p$ è la probabilità di un certo evento [esempio ‘pallina bianca’…] in una estrazione, allora la probabilità di averne $k$ in $n$ estrazioni è…

$P_(n,k)= ((n),(k)) * p^k*(1-p)^(n-k)$ (1)

in cui è…

$((k),(n))= (n!)/(k!*(n-k)!)$ (2)

Nel nostro caso se il numero di palline $N$ contenuto nell’urna è ‘grande’ sarà con buona approssimazione $p=B/N$. Nel problema posto è $n=7$ e vogliamo conoscere la probabilità che in sette tentativi escano almeno $2$ palline bianche. Il valore di probabilità cercato sarà…

$P= 1- P_(7,0) – P_(7,1) = 1 – ((0),(7)) * p^0*(1-p)^7 – ((1),(7))*p*(1-p)^6=$

$= 1- (1-p)^7-7*p*(1-p)^6$ (3)

cordiali saluti

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Messaggioda Cheguevilla » 30/10/2006, 12:59

No Lupo Grigio, quello che dici tu andrebbe bene se l'esperimento fosse con reinserimento.
Trattandosi di un'estrazione "in contemporanea", ovvero senza reinserimento, la VA binomiale è sbagliata.
Si risolve con la variabile aleatoria ipergeometrica:
$P(X=x)=(((Np),(x))((Nq),(n-x)))/(((N),(n)))$
Dove:
$N$ è il numero di oggetti (N).
$n$ è il numero di oggetti estratti (7).
$Np$ è il numero di oggetti favorevoli (B), che può essere visto anche come $N*p$, dove p è la probabilità di ottenere un successo.
$Nq$ è il numero di oggetti sfavorevoli (R), che può essere visto anche come $N*q$ con $q=1-p$.
$x$ è il numero di successi che si vogliono ottenere.
Nel nostro caso, sarà necessario il ricorso alla funzione di ripartizione:
$P(X>=x)=sum_(i=x)^n(((Np),(i))((Nq),(n-i)))/(((N),(n)))$
$P(X>=2)=sum_(i=2)^7(((B),(i))((R),(7-i)))/(((N),(7)))$
Questa variabile vede a denominatore il numero di casi possibili, ovvero le possibili combinazioni di N oggetti presi n alla volta.
A numeratore, invece, le possibili estrazioni di oggetti favorevoli per le possibili estrazioni di oggetti sfavorevoli che vogliamo ottenere.
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Messaggioda lupo grigio » 30/10/2006, 13:32

yes!!!... all right!!!...

Come ho detto infatti il risultato da me fornito è valido in caso di N 'molto grande', di modo che la probabilità è circa la stessa anche dopo un numero 'limitato' di estrazioni...

cordiali saluti

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Messaggioda Cheguevilla » 31/10/2006, 11:09

É possibile verificare che quando N è molto grande, ovvero quando lo spazio S degli eventi possibili è molto grande, la VA ipergeometrica converge alla VA binomiale.
Cioè, quando l'insieme degli eventi possibili è molto grande, la probabilità di ottenere k successi senza che si reinserisca l'estrazione è la stessa di ottenere k successi reinserendo l'estrazione.
$lim_{N to +oo}P(X)=lim_{N to +oo}(((Np(Np-1)...(Np-k-1))/(k!))((Nq(Nq-1)...[Nq-(n-k)-1])/((n-k)!)))/((N(N-1)...(N-n-1))/(n!))$
Raccogliendo tutti gli NP e gli NQ dal prodotto a numeratore e le N a denominatore, semplificando il rapporto:
$lim_{N to +oo}((Np)^k[1(1-1/(Np))...(1-(k-1)/(Np))](Nq)^(n-k)[1-(1-1/(Nq))...(1-(n-k-1)/(Nq))])/(N^n[1(1-1/N)...(1-(n-1)/n)])*(n!)/(k!(n-k)!)$
Al limite, tutti gli elementi all'interno delle parentesi tonde tendono a 1. Quindi:
$((Np)^k(Nq)^(n-k))/N^n*(n!)/(k!(n-k)!)$
Poichè $(Np)^k/N^k=p^k$ e $(Nq)^(n-k)/N^(n-k)=q^(n-k)$ risulta:
$lim_{N to +oo}P(X)=p^kq^(n-k)(n!)/(k!(n-k)!)=((n),(k))p^kq^(n-k)$
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Messaggioda ryan_vespucci » 31/10/2006, 13:30

Vi ringrazio delle vostre spiegazioni, ho inquadrato il problema, grazie anche all'appoggio del mio libro di testo!
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