Test d'ipotesi sulla varianza

[Ing.Disperata]

Ciao a tutti!
volevo condividere con voi questo esercizio..domani ho la discussione orale del compito scritto e non sono sicura di averlo svolto correttamente!

La varianza di un campione di n=15 elementi è $ S^2=13.5 $
verificare le seguenti ipotesi
$ H_0= [sigma ^2=31] $
$ H_1=[sigma_1^2 <31] $
rischio di prima specie $ alpha =0.05 $

Svolgimento
essendo l'ipotesi $ H_1 $ direzionale il test è a una coda.
la zona di rigetto è rappresentata dalla coda di probabilità sinistra. (DI SOLITO LO FACCIO MECCANICAMENTE..MA QUAL'è LA REALE MOTIVAZIONE? PERCHè IN QUESTO CASO CONSIDERO LA CODA SINISTRA E NON LA DESTRA?)

è un test sulla varianza quindi ho pensato di usare come statistica test la CHI QUADRATO
$ chi ^2= (n-1)xx (S^2)/(sigma _0^2) = 14xx (13.5)/(31)=6.1 $

trovo il valore critico della chi quadrato $ chi_c^2 $ , per il quale tutti i valori minori ricadono nella zona di rigetto
$ chi_(c,0.95) =6.57 $

essendo il valore trovato dalla statistica test minore di qurello critico, devo rigettare l'ipotesi nulla.

è Sufficiente dire che l'ipotesi alla base è che il campione è estratto da una popolazione gaussiana, quindi applico la chi quadrato? c'è qualche metodo risolutivo alternativo?

grazie

[Ing.Disperata]

provo a spiegarmi meglio..
se invece di confrontare la statistica test con il valore critico (come ho fatto precedentemente) volessi valutare l'intervallo dii confidenza della varianza, ad un livello di significatività 0,95, (verificando poi se il valore previsto dalla mia ipotesi nulla è compreso o meno) dovrei valutare la probabilità rispetto quale percentile della "CHi quadro"?

$ Pr[ (n-1)xx (S^2)/sigma ^2 <chi _0.05] =0,95 $
DOVREI FARE COSì E POI RISOLVERE nell'incognita $ sigma $ ?

facendo così mi viene $ Pr [ sigma ^2 > 14xx (13.5)/6.57=28.77]= 0.95 $
ma in questo modo dovrei accettare l'ipotesi nulla! mi viene l'opposto di come ho fatto precedentemente

scusami..spero di essere stata chiara.. il mio problema è che nn riesco a risolvere l'esercizio con questa impostazione..

[Ing.Disperata]

in realtà sbagliavo l'impotazione perchè l'intervallo che sto valutando è
$ Pr[ (n-1)xx (S^2)/sigma^2 > chi _0.05 ]=0.95 $
..giusto???

scusa se approfitto ancora di questo spazio.. ma volevo chiederti anche un altro parere.
la domanda è questa :

" a quale funzione si addice il termine "frequenza di guasti" riferita ad un'intera popolazione di sistemi non riparabili, messi contemporaneamente a funzionare nelle stesse condizioni operative?"
io ho pensato alla funzione "densità di probailità di guasto" $ f(t) $ , ovvero alla derivata rispetto al tempo della funzione di guasto (o inaffidabilità) perche permette di valutare la frequenza con cui un componente si guasta in un intervallo infinitesimo dt, rispetto alla "popolazione" di partenza. sei d'accordo?

[Ing.Disperata]

grazie
sei stato gentilissimo!

[Ing.Disperata]

crepi

[gianluca30]

ma se il chi quadrato calcolato viene minore di quello critico, non dovrei accettare l'ipotesi nulla ??

Moderatore: tommik

NO, per niente.

Per favore, lasciamo i necropost dove stanno.