Funzione densità di probabilità

[Bartolomeo]

Ciao a tutti... fino alla teoria ci arrivo.. ma poi la pratica mi sembra totalmente diversa da quello che ho studiato quindi trovo un pò di difficoltà nella soluzione degli esercizi:

Data la funzione densità di probabilità $f(x)=C(2-x)(x-3)$ con $2<x<3$
Calcolare la densità di probabilità $Y=sqrt X$

Ecco ora molto probabilmente farò una cosa molto confusa.... dovrebbe essere:

$P(2\lex<3) = F(3) - F(2) = \int_2^3f(x)$ Quindi calcolo l'integrale:

$\int_2^3 C(2-x)(x-3)dx = [c (-1/3x^3 + 5/2x^2 - 6x)]_2^3 = -143/6c$
Ora $-143/6c$ dovrebbe essere unguale a 1 quindi $c= -6/143$

Ora (forse) posso calcolare la densità di probabilità... quindi:
$P(sqrt 2 \le sqrt X < sqrt 3)=-6/143 \int_(sqrt 2)^(sqrt 3) (2-x)(x-3)dx$ e calcolo quanto mi viene... ma penso sbagli qualcosa...

vi ringrazio per il vostro aiuto...

[Andrea2976]

L'esercizio richiede di calcolare la densità e non la probabilità di Y (in (sqrt 2, sqrt 3)) che dovrebbe venire 1 (perché stai calcolando la probabilità su tutto lo spazio).
Il procedimento è simile al tuo, una volta trovata la costante C di normalizzazione devi calcolare la
P(Y<t)=P(sqrt X<t)=P(X<t^2) poi derivi in t ed il gioco è fatto.

[nicola de rosa]

Ciao a tutti... fino alla teoria ci arrivo.. ma poi la pratica mi sembra totalmente diversa da quello che ho studiato quindi trovo un pò di difficoltà nella soluzione degli esercizi:

Data la funzione densità di probabilità $f(x)=C(2-x)(x-3)$ con $2<x<3$
Calcolare la densità di probabilità $Y=sqrt X$

Ecco ora molto probabilmente farò una cosa molto confusa.... dovrebbe essere:

$P(2\lex<3) = F(3) - F(2) = \int_2^3f(x)$ Quindi calcolo l'integrale:

$\int_2^3 C(2-x)(x-3)dx = [c (-1/3x^3 + 5/2x^2 - 6x)]_2^3 = -143/6c$
Ora $-143/6c$ dovrebbe essere unguale a 1 quindi $c= -6/143$

Ora (forse) posso calcolare la densità di probabilità... quindi:
$P(sqrt 2 \le sqrt X < sqrt 3)=-6/143 \int_(sqrt 2)^(sqrt 3) (2-x)(x-3)dx$ e calcolo quanto mi viene... ma penso sbagli qualcosa...

vi ringrazio per il vostro aiuto...

Innanzitutto calcoliamo $C: C*int_{2}^{3}(2-x)(x-3)dx=1$ $->$ $C*int_{2}^{3}(-x^2+5x-6)dx=C*[-x^3/3+5/2*x^2-6x]_{2}^{3}=C*1/6=1$ da cui $C=6$
Quindi $f_X(x)=6(2-x)(x-3)rect(x-5/2)$
Calcoliamo ora la pdf di $Y=sqrt(X)$. Innanzitutto osserviamo che la trasformazioine $y=sqrt(x)$ impone che $y>0$ perchè la radice di un numero reale è un numero positivo. Questa considerazione ci servirà dopo.
Innanzitutto per il teorema sulla trasformazione di variabili aleatorie si sa che se $Y=g(X)$ allora
$f_Y(y)=[(f_X(x))/(|g^{'}(x)|)]_(x=g^{-1}(y))$
In tal caso $x=y^2,g^{'}(x)=1/(2sqrt(x))$ per cui
$f_Y(y)=[(6(2-x)(x-3))/(1/(|2sqrt(x)|))]_(x=y^2)=6(2-y^2)(y^2-3)*|2sqrt(y^2)|=12*(2-y^2)(y^2-3)*|y| $. Avendo detto prima che $y>0$ allora $|y|=y$ per cui $f_Y(y)=12*(2-y^2)(y^2-3)*y$
Ora vediamo in quale intervallo varia $y$: se $2<x<3$ allora $sqrt(2)<y<sqrt(3)$. In conclusione
$f_Y(y)=12*(2-y^2)(y^2-3)*y*rect((y-(sqrt(3)+sqrt(2))/2)/(sqrt(3)-sqrt(2)))$

[Bartolomeo]

2 cose:

@ Andrea2976: cos è t?

@ nicasamarciano: cos è $rect(x-5/2)$ dove l'hai preso?

grazie ancora...

[nicola de rosa]

2 cose:

@ Andrea2976: cos è t?

@ nicasamarciano: cos è $rect(x-5/2)$ dove l'hai preso?

grazie ancora...

La funzione $rect()$ è la funzione finestra rettangolare.
Se una funzione è definita in $[a,b]$ allora si usa scrivere $f(x)rect[(x-(a+b)/2)/(b-a)]$. Nel tuo caso la pdf è definita in $[2,3]$ allora ho scritto $rect[x-5/2]$ evitando di ripetere ogni volta $2<=x<=3$

[Bartolomeo]

ahhh ok... onestamente è la prima volta che ne sento parlare... pensavo stessi moltiplicando per quella cosa

[Andrea2976]

t...è solo la variabile per la funzione di ripartizione.
Per calcolare la densità di una certa f(X), conoscendo la densità di X, di solito i metodi sono quelli enunciati da nicamars attraverso una trasformazione di variabile nell'integrale o come ho fatto io attrverso l'inversione di f nella funzione di ripartizione.

[Bartolomeo]

ok grazie... tutto chiaro... dire "calcolare la densità di probabilità" e "calcolare la funzione di probabilità" è la stessa cosa no?

[nicola de rosa]

ok grazie... tutto chiaro... dire "calcolare la densità di probabilità" e "calcolare la funzione di probabilità" è la stessa cosa no?

bisogna stare attenti: se ti chiede di calcolare la funzione densità di probabilità allora devi calcolare la pdf $f_X(x)$ così come ti ho fatto vedere. se ti chiede di calcolare la funzione di ripartizione devi calcolare la cdf così definita: $F_X(x)=int_{-infty}^{x}f_X(x)dx$, che però puoi pure calcolare col teorema di trasformazione per le variabili aleaatorie analogo a quello per le pdf.

[Bartolomeo]

ok... è quasi tutto chiaro... ma forse lo è ancora di più con un esempio.. allora nell'esercizio

Data la funzione densità di probabilità $f(x)=Ke^(-alpha x)$ con $x>0$ e $K$ costante, determinare la funzione di probabilità di $Y=X+2$

mi pare di aver capito che devo calcolare
$int_o^(+infty) Ke^(-alpha x)dx$ devo porre pure questo uguale a 1? e come lo risolvo... come un integrale improprio?