Funzione densità di probabilità

[Bartolomeo]

ah ok ok.. grazie

[Bartolomeo]

Ho provato a fare anche l'altro esercizio... ma ho dubbi sulla sua correttezza... posto qui di seguito il testo e il suo svolgimento:

Calcolare la probabilità condizionata della variabile y se la funzione cumulativa delle due variabili X e Y è data dall'espressione $f(x,y) = A e^(-alphax)e^(-betay)$ (la "f" e no "F" l'ha scritta il prof), $0<x<y<+oo$ con $alpha > 0$, $beta>0$.

Allora.. ecco quello che ho fatto...

1) Mi sono calcolato l'integrale generale della funzione cumulativa, trovando così la funzione densità di probabilità (mi pare di aver capito che devo fare così):
$f_(XY)(x,y)=Aintinte^(-alphax)e^(-betay)dxdy=A/(alphabeta)e^(-alphax)e^(-betay)$

2) Eguaglio a uno la funzone densità di probabilità, dunque mi trovo A:
$A/(alphabeta)int_0^(+oo)int_0^ye^(-alphax)e^(-betay)dxdy=1$ -> $A=alphabeta^2(alpha+beta)$

3) Mi calcolo $f_X(x)$:
$f_X(x)=int_x^(+oo)alphabeta^2(alpha+beta)e^(-alphax)e^(-betay)dy=alphabeta(alpha+beta)e^(-alphax)e^(-betax)$

4) Per concludere, mi trovo la mia $f(y|x)$:
$f(y|x)=(f_(XY)(x,y))/(f_X(x))=betae^(beta(y-x))$


Che ne dite?

[nicola de rosa]

Ho provato a fare anche l'altro esercizio... ma ho dubbi sulla sua correttezza... posto qui di seguito il testo e il suo svolgimento:

Calcolare la probabilità condizionata della variabile y se la funzione cumulativa delle due variabili X e Y è data dall'espressione $f(x,y) = A e^(-alphax)e^(-betay)$ (la "f" e no "F" l'ha scritta il prof), $0<x<y<+oo$ con $alpha > 0$, $beta>0$.

Allora.. ecco quello che ho fatto...

1) Mi sono calcolato l'integrale generale della funzione cumulativa, trovando così la funzione densità di probabilità (mi pare di aver capito che devo fare così):
$f_(XY)(x,y)=Aintinte^(-alphax)e^(-betay)dxdy=A/(alphabeta)e^(-alphax)e^(-betay)$

2) Eguaglio a uno la funzone densità di probabilità, dunque mi trovo A:
$A/(alphabeta)int_0^(+oo)int_0^ye^(-alphax)e^(-betay)dxdy=1$ -> $A=alphabeta^2(alpha+beta)$

3) Mi calcolo $f_X(x)$:
$f_X(x)=int_x^(+oo)alphabeta^2(alpha+beta)e^(-alphax)e^(-betay)dy=alphabeta(alpha+beta)e^(-alphax)e^(-betax)$

4) Per concludere, mi trovo la mia $f(y|x)$:
$f(y|x)=(f_(XY)(x,y))/(f_X(x))=betae^(beta(y-x))$


Che ne dite?

A me viene $A=beta(alpha+beta)$
$f_X(x)=(alpha+beta)e^(-(alpha+beta)x)u(x)$ da cui
$f_(Y|X)(y|x)=(f_(X Y)(x,y))/(f_X(x))=beta*e^(-beta(y-x))$

nota che la tua $f_X(x)$ non ha area sottesa pari ad $1$ cioè non soddisfa la condizione di normalizzazione

[Bartolomeo]

Allora credo di aver fatto un passaggio in più... in pratica io ho integrato (senza estremi.. quindi integrali generali) la funzione che mi ha dato il prof... e mi sono trovato una funzione.... poi ho integrato questa funzione che ho trovato qui per trovare il valore di A....

Trovo $A=(alpha+beta)beta$ se pongo uguale a 1 la funzione che mi ha dato il prof...

Io invece ho posto uguale a 1 l'integrale generale della funzione che mi ha dato il prof... non so se sono stato chiaro...

[nicola de rosa]

Allora credo di aver fatto un passaggio in più... in pratica io ho integrato (senza estremi.. quindi integrali generali) la funzione che mi ha dato il prof... e mi sono trovato una funzione.... poi ho integrato questa funzione che ho trovato qui per trovare il valore di A....

Trovo $A=(alpha+beta)beta$ se pongo uguale a 1 la funzione che mi ha dato il prof...

Io invece ho posto uguale a 1 l'integrale generale della funzione che mi ha dato il prof... non so se sono stato chiaro...

tu intendevi la CDF e non la pdf. comunque per ottenere la pdf devi derivare la CDF, e per ottenere la CDF devi integrare la pdf.

[Bartolomeo]

quindi ho sbagliato il punto 1..... non devo integrare la funzione che mi ha dato il prof ma la devo derivare!!!!

[Bartolomeo]

Ma una cosa... la devo derivare in x o in y?

[nicola de rosa]

Ma una cosa... la devo derivare in x o in y?

$f_(X Y)(x,y)=(d^2F_(X Y)(x,y))/(dxdy)$ indipendentemente dall'ordine di derivazione parziale cioè è la stessa cosa se derivi prima rispetto ad $x$ e poi ad $y$ e viceversa. Le derivate sono parziali ovviamente. analogamente
$F_(X Y)(x,y)=int_{-infty}^{x}int_{-infty}^{y}f_(X Y)(x,y)dxdy$

[Bartolomeo]

Niente da fare.. a me A viende diverso... ora mi viene $A=beta/alpha+1$

"A" mi viene uguale a te solo se integro direttamente la funzione che mi da il prof... ma quella non è una funzione cumulativa?

Quindi... prima di trovare A non devo trovarmi la funzione densità di probabilità, quindi derivare la funzione che mi da il prof???

[nicola de rosa]

Niente da fare.. a me A viende diverso... ora mi viene $A=beta/alpha+1$

"A" mi viene uguale a te solo se integro direttamente la funzione che mi da il prof... ma quella non è una funzione cumulativa?

Quindi... prima di trovare A non devo trovarmi la funzione densità di probabilità, quindi derivare la funzione che mi da il prof???

ma tu la intendi come cdf o pdf la tua funzione? se sta scritto cumulativa è cdf e per ricavare la pdf devi derivare.
Ora $A=beta/alpha+1$ come lo hai trovato?
se quella è cdf, per trovare la pdf devi derivarla non integrarla. dopo averla derivata calcoli $A$ imponendo la condizione di normalizzazione cioè l'area sottesa è unitaria