Probabilità di palline da urna

da **stepper** » 30/11/2006, 23:53

La probabilità è un numero reale compreso tra 0 e 1. Supponendo che gli eventi possibili siano tutti equiprobabili, devi fare la somma delle probabilità dei singoli casi in cui si verifica l'evento composto di cui calcoli la probabilità. Se l'evento composto è "estrazione di una pallina rossa al primo o al secondo tentativo", nel primo la probabiltà è 20/100 per 80/99, nel secondo è 80/100 per 20/99, fai la somma dei due risultati e trovi il risultato. Così però non consideri anche la possibilità che tutte e due le estrazioni diano rosso, data da 20/100 per 19/99. Ogni evento è l'intersezione di due eventi. le due estrazioni, per calcolarla fai la moltiplicazione consoderando che alla seconda estazione il numero delle palline cambia. La probabilità totale è la somma delle probabilità dei vari casi possibili. Poiche i vari casi si escludono a vicenda non devi fare altro che sommare le probabilità. Alla base di tutto ci sono due teoremi: probabilità totale e composta. Poi c'è il teorema della probabilità contraria per cui se la probabilità che esca una pallina rossa è 1/5 l'evento contrario sarà 1-1/5= 4/5.

da **Bartolomeo** » 01/12/2006, 00:20

ma non ho capito bene... i casi possibili... quanti sono?

da **Kroldar** » 01/12/2006, 00:39

Quello che dice stepper è giusto... senza nulla togliere a stepper riscrivo tutto con le formule giusto per renderlo più chiaro.

Vediamo in quali casi può comparire qualcosa di colore rosso:
A) la prima pallina è rossa e la seconda no
B) la seconda pallina è rossa e la prima no
C) sia la prima che la seconda pallina sono rosse

Calcoliamo la probabilità che si verifichi ciascuno dei 3 eventi qui sopra riportati:

A) $20/100 * 80/99 = 16/99$

B) $80/100 * 20/99 = 16/99$

C) $20/100 * 19/99 = 19/495$

Ricordiamo ora un'importante proprietà che si dimostra banalmente dall'assioma di numerabile additività:

Siano $X$ e $Y$ due eventi la cui intersezione è vuota, allora $P(X uu Y) = P(X) + P(Y)$.

Visto che, scelti a caso due eventi tra i tre citati sopra ($A$,$B$,$C$), questi due eventi hanno intersezione vuota, è chiaro che:

- se si vuole la probabilità che una e una sola pallina sia rossa occorre calcolare la somma $P(A) + P(B) = 32/99$

- se si vuole la probabilità che almeno una pallina sia rossa occorre calcolare la somma $P(A) + P(B) + P(C) = 179/495$

Per rispondere alla domanda "quanti sono i casi possibili?", basta ricondursi al caso di $k$ estrazioni su $n$ elementi

tenendo conto dell'ordine e senza reimmissione, per il quale caso vale la formula: $(n!)/((n-k)!)$ che nel nostro caso dà

come risultato $9900$.

da **Bartolomeo** » 01/12/2006, 00:46

Allora... per trovare la probabilità devo fare i casi favorevoli diviso quelli possibili... ma come mi avete fatto vedere appena adesso... io trovo $P(A)+P(B)+P(C)$... che dovrebbe essere la probabilità... no i casi favorevoli come avevo capito io... quindi ora io che me ne faccio con quel 9900???

da **Kroldar** » 01/12/2006, 01:02

Calcolare la probabilità come rapporto tra casi favorevoli e casi possibili è il cosiddetto "approccio classico" alla probabilità... approccio che in alcuni casi è largamente utilizzato, ma che va in crisi quando il numero di possibili casi da trattare non è finito o addirittura non è contabile. Ad oggi, l'approccio più utilizzato è quello assiomatico, anche se ha lo svantaggio di non definire univocamente una legge di probabilità. Sicuramente contando i casi favorevoli e quelli possibili non sbaglieresti... ma credo sia molto più semplice agire come ti ho mostrato poc'anzi... e comunque la soluzione che ti ho riportato si appoggia sull'approccio classico. Se però ci tieni a seguire la strada a cui sei abituato, allora:
- se si vuole che solo una pallina sia rossa basta fissare una pallina rossa (estratta al primo turno) e far variare la seconda non rossa e ripetere l'operazione un numero di volta pari al totale delle palline rosse... alla fine si moltiplica per due visto che potrebbe accadere una cosa analoga ipotizzando la pallina rossa estratta al secondo turno... in cifre $20*80*2=3200$
- se si vuole che almeno una pallina sia rossa bisogna aggiungere al risultato precedente il numero di possibili coppie di palline rosse tenendo conto dell'ordine ovvero $3200+ 19*20 = 3580$

da **Bartolomeo** » 01/12/2006, 01:08

oh non... non mi interessa l'approccio classico o meno.... mi interessa un metodo qualunque esso sia... solitamente preferisco il migliore... anche se non mi è stato spiegato dal prof...

da **Kroldar** » 01/12/2006, 01:18

Qualche post fa ho speso parole e parole per spiegarti un metodo efficace per risolvere quel problema... spero almeno che tu lo abbia capito e non sia stato tempo buttato

da **Bartolomeo** » 01/12/2006, 01:35

oh no no... sei stato chiarissimo e gentilissimo.... penso di averlo capito... ora faccio un altro esercizio... e stasera stessa (stanotte) o domani lo posto... caso mai controlli e vedi se faccio il tutto correttamente o meno...

grazie ancora...

da **Bartolomeo** » 01/12/2006, 01:53

una cosa... come hai fatto a trovare i casi possibili???

quella formula li che hai scritto... non verrebbe fuori $(100!)/98!$ ???? la mia calcolatrice non riesce a calcolarlo...

da **nicola de rosa** » 01/12/2006, 01:55

Bartolomeo ha scritto:una cosa... come hai fatto a trovare i casi possibili???

quella formula li che hai scritto... non verrebbe fuori $(100!)/98!$ ???? la mia calcolatrice non riesce a calcolarlo...

infatti per come è definito il fattoriale, $100!$ è il prodotto dei primi 100 numeri e $98!$ il prodotto dei primi 98. poichè hai un rapporto il prodotto dei primi 98 si elide e ti rimane al numeratore $99*100=9900$

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