Calcolo varianza

Messaggioda Bartolomeo » 02/12/2006, 17:36

Trovo difficile calcolare la varianza in una situazione del genere.... l'esercizio chiede:

Due variabili aleatorie X e Y, indipendenti hanno varianza $sigma_x^2=4$ e $sigma_y^2=6$. Calcolare la varianza della variabile $Z= 2X+4Y-5$

Non ho ne media ne ne il dominio della funzione... come la calcolo sta varianza?
Bartolomeo
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Re: Calcolo varianza

Messaggioda nicola de rosa » 02/12/2006, 17:39

Bartolomeo ha scritto:Trovo difficile calcolare la varianza in una situazione del genere.... l'esercizio chiede:

Due variabili aleatorie X e Y, indipendenti hanno varianza $sigma_x^2=4$ e $sigma_y^2=6$. Calcolare la varianza della variabile $Z= 2X+4Y-5$

Non ho ne media ne ne il dominio della funzione... come la calcolo sta varianza?

Devi ricordare:
1)$Y=a*X+b,a,b in RR$ allora $Var[Y]=a^2*Var[X]$ cioè $b$ (-5 nel tuo caso) non influisce;
2)quando hai la somma di variabili aleatorie indipendenti la varianza è la somma delle varianze.
Per cui
$Var[Z]=2^2*Var[X]+4^2*Var[Y]=4*4+16*6=16+96=112$
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Messaggioda Tipper » 02/12/2006, 17:48

La varianza di una variabile aleatoria $T$ è $"Var"(T)=E[(T-E[T])^{2}]=E[T^{2}]-E[T]^{2}$

Quindi la varianza di $Z$ vale:$E[(2X+4Y-5)^{2}]-(E[2X+4Y-5])^{2}=4E[X^2]+16E[Y^2]+25+16E[XY]-20E[X]-40E[Y]-(2E[X]+4E[Y]-5)^{2}=$
$=4E[X^2]+16E[Y^2]+25+16E[XY]-20E[X]-40E[Y]-(4E[X]^2 + 16E[Y]^{2}+25+16E[X]E[Y]-20E[X]-40E[Y])=$
$=4E[X^2]+16E[Y^2]+25+16E[XY]-20E[X]-40E[Y]-4E[X]^2 - 16E[Y]^{2}-25-16E[X]E[Y]+20E[X]+40E[Y]=

Tenendo conto che $E[T^2]-E[T]^2$ è la varianza di $T$ e che $E[X]E[Y]-E[XY]=0$ perché sono indipendenti, e quindi scorrelate, si ottiene:

$4 \sigma_X^{2} +16 \sigma_Y^{2}$

Questa è la varianza di zeta
Ultima modifica di Tipper il 02/12/2006, 20:51, modificato 2 volte in totale.
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Messaggioda Bartolomeo » 02/12/2006, 18:11

sbaglio o le 2 varianze sono diverse? :cry:
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Messaggioda Tipper » 02/12/2006, 18:14

Se ti riferisci a quelle calcolate da me e da nicasamarciano no, sono uguali.
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Messaggioda Bartolomeo » 02/12/2006, 18:23

sembrano diverse perchè tu l'hai calcolata in X e in Y e lui invece.. diciamo che le ha calcolate in Z???

E se le variabili fossero stati dipendenti anzicchè sommare dovevo moltiplicare?
Ultima modifica di Bartolomeo il 02/12/2006, 18:27, modificato 1 volta in totale.
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Re: Calcolo varianza

Messaggioda Bartolomeo » 02/12/2006, 18:27

nicasamarciano ha scritto:
Bartolomeo ha scritto:Trovo difficile calcolare la varianza in una situazione del genere.... l'esercizio chiede:

Due variabili aleatorie X e Y, indipendenti hanno varianza $sigma_x^2=4$ e $sigma_y^2=6$. Calcolare la varianza della variabile $Z= 2X+4Y-5$

Non ho ne media ne ne il dominio della funzione... come la calcolo sta varianza?

Devi ricordare:
1)$Y=a*X+b,a,b in RR$ allora $Var[Y]=a^2*Var[X]$ cioè $b$ (-5 nel tuo caso) non influisce;


Come faccio a capire se b influisce o meno?
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Messaggioda Tipper » 02/12/2006, 18:33

Bartolomeo ha scritto:sembrano diverse perchè tu l'hai calcolata in X e in Y e lui invece.. diciamo che le ha calcolate in Z???

E se le variabili fossero stati dipendenti anzicchè sommare dovevo moltiplicare?


Se erano dipendenti, ma scorrelate, non sarebbe cambiato nulla.

Se invece erano anche correlate non era vero che $E[XY]-E[X]E[Y]=0$, ovvero per calcolare la varianza avevi bisogno anche della covarianza.

Dal momento che sono correlate, per calcolare la varianza, devi avere, in un certo senso, un indice della loro correlazione.
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Re: Calcolo varianza

Messaggioda Bartolomeo » 02/12/2006, 19:42

@ Nicasamarciano:
nicasamarciano ha scritto:2)quando hai la somma di variabili aleatorie indipendenti la varianza è la somma delle varianze.


Se ho un prodotto di variabili aleatorie allora la varianza è il prodotto delle varianze???



@ Tipper: Il metodo che hai scritto tu vale anche nel caso di prodotto di variabili aleatorie indipindenti?
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Messaggioda Tipper » 02/12/2006, 20:05

Il metodo che ho scritto io fa uso della definizione di varianza, quindi direi che va sempre bene...

Ovviamente, nel caso del prodotto di variabili aleatorie, i conti verranno diversi.
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