Disuguaglianza di Tchebicheff

[kelsen]

Qualcuno saprebbe spiegarmi a che cosa serve e qual è la sua applicazione pratica?


Ho al riguardo un esercizio:

[1] Un gruppo di studenti ha riportato i seguenti voti d'esame (in trentesimi):

30 30 24 27 27 21 20 27 29 29
30 23 30 21 19 19 23 23 24 18
26 26 30 22 28 19 25 19 30 30

Per la disuguaglianza di Tchebicheff, scelto ξ = 1,3 , la frequenza relativa di studenti con voto compreso nell'intervallo 19,64372 < X < 30,28962 è certamente non inferiore al ? %. Infatti, nella distribuzione della variabile X, tale frequenza vale ? %.

[Kroldar]

la frequenza relativa di studenti con voto compreso nell'intervallo 19,64372 < X < 30,28962

Gli studenti che a un esame prendono un voto che va da $20$ a $30$ sono molti...

E poi vorrei sapere quell'intervallo dove l'hai pescato...

La disuguaglianza di Chebishev (che è un caso particolare di un'altra nota disuguaglianza) è importante poiché mette in relazione media, varianza e probabilità e fornisce una interessante verifica del fatto che la varianza di una variabile aleatoria rappresenti la "dispersione" dei valori assunti dalla variabile aleatoria.
In ogni caso, visto che i vari voti sono equiprobabili (almeno così mi sembra di aver intuito), la media della variabile aleatoria $X$ si riduce a una semplice media aritmetica. Poi bisogna calcolare la varianza... è questione di conti ma è facile.
Non riesco a capire quell'esercizio cosa chieda precisamente...

Non far caso a come ho scritto il cognome del nostro beneamato Pafnuty... sembra che sia una moda cercare di scriverlo nel maggior numero di modi diversi possibile... chissà poi qual è quello giusto...

[kelsen]

Grazie della risposta.
L'esercizio in particolare chiede i PUNTI INTERROGATIVI che ho messo cioè le percentuali.

[kelsen]

Qualcuno riesce ad aiutarmi?

[Kroldar]

kelsen, vorrei aiutarti ma non hai risposto alla mia domanda: quell'intervallo così strano da dove salta fuori?

L'unica cosa certa che posso dirti è che, detta $mu$ la media e $sigma^2$ la varianza, fissato un $epsilon > 0$, risulta

$P(|X-mu| >= epsilon) <= (sigma^2)/(epsilon^2)$

Non credo che per $epsilon$ abbstanza piccolo si arrivi a un intervallo di $10$ unità...

[kelsen]

L'intervallo è dato dall'esercizio stesso e non so come usarlo anch'io.

Riflettendo su ciò che mi hai detto ho provato a calcolare ε=ξ*σ e mi viene 5,24177. Poi arrivo a trovare μ-ε= 25- 5,24177= 19,75823 e μ+ε= 25+ 5,24177= 30,24177 . Poi però non so a che cosa mi servono per trovare i 2 punti interrogativi dell'esercizio.


Il primo ? forse potrei trovarlo facendo $1-(1/ξ^2)=0,40828= 40,828 %$ essendo ξ= 1,3

[Kroldar]

kelsen, scusa ma non ho capito quali sono i dati che ti fornisce il problema e quelli che ti sei calcolato tu... ci sono dei conti che fai che non riesco a giustificare... ad esempio per te $epsilon=xi*sigma$ cosa rappresenta?
di grazia, mi scrivi il valore esatto della media e della varianza?

[kelsen]

Per me ε rappresenta la distanza dalla media.
La media vale 25.
La varianza vale 16,25806.
Lo scarto quadratico medio vale 4,03213.
Quindi ε= 1,3*4,03213=5,24177

[Kroldar]

La radice quadrata della varianza si chiama "deviazione standard"...
Inoltre $epsilon$ è arbitrario, non devi calcolarlo moltiplicando $xi$ (che non so cosa sia) per la deviazione standard... la disuguaglianza di Chebishev parla chiaro: $AA epsilon >0$...