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Mi scuso per il titolo poco chiaro ma non sapevo come riassumere meglio la questione.

Sappiamo che: se la successione $(X_n)_{n\ge1}$ converge quasi certamente a una v.a. $X$, allora $(X_n)_{n\ge1}$ converge in probabilità a $X$. Mi si chiede il controesempio se al posto della definizione di convergenza in probabilità uso la convergenza in misura $\sigma$-finita $\mu$. Cioè: se $f_n$ converge quasi ovunque a $f$, non è detto che converga in misura.

Ho pensato a questo caso:
-$\Omega = R$;
-$\mu$ misura di Lebesgue;
-$f_n = I_{[n,n+1]}$, cioè l'indicatrice degli intervalli $[n,n+1]$.

Secondo me $f_n$ tende quasi ovunque a $0$, ma $\lim_{n \to \infty}\mu\{|f_n|>\epsilon\}=1$ in quanto la misura degli intervallini è sempre 1.

Va bene come controesempio?

Il problema è che se anche andasse bene, per me sarebba un percorso buono anche se $\mu$ fosse una probabilità (cioè con $X_n$ come indicatrici non convergono in probabilità alla v.a. nulla).

Dove sbaglio?

Grazie dell'aiuto in anticipo

Il controesempio va bene. Per la convergenza quasi ovunque delle $f_n$ ti basta osservare che, per ogni x, esiste N tale che per ogni $n>N$, $f_n(x)=0$.

Per il tuo dubbio prova a riscriverti il controesempio per esteso utilizzando una misura di probabilità e vedi se trovi qualcosa che non va.

-$\Omega = R$;
-$P$ probabilita';
-$X_n = I_[n,n+1]$;

Come prima, $X_n$ tende alla v.a. $X=0$... pero' stavolta mi torna male calcolare il limite! e' la probabilita' di un singolo intervallino qualsiasi per $n \to \infty$? Quindi trascurabile?

Scusa ma non capisco bene quello che dici.
Calcola $P(|X_n|>varepsilon)$ e $P(|X_{n+1}|>varepsilon)$
Diciamo che, vista la generalità della misura P, non puoi calcolare direttamente quanto valgono ma visto che sei in uno s.d.p. puoi concludere sul loro comportamento

Ok... presa una generica probabilità $P$, io direi che se per assurdo il limite sopra enunciato non fosse nullo, allora esisterebbero infiniti intervallini (posso supporre anche che ne esistono infiniti disgiunti, visto che "vanno" all'infinito) che hanno probabilità strettamente positiva maggiore di $\epsilon$. Quindi se facessi la somma delle probabilità di questi intervallini, avrei che la somma è maggiore di $n \epsilon$, e per $n \to \infty$ allora la probabilità dell'unione di questi intervallini (che è un boreliano e quindi ha senso chiederne la probabilità) tende a $\infty$... contrariamente alla proprietà che $P(R)=1$.

Può andare bene?

Esatto. Non puoi costruire uno s.d.p. con delle funzioni tali da verificare le condizioni dell'esempio dato.
Anzi, come hai fatto vedere, quella successione di probabilità deve convergere a 0 verificando la convergenza in probabilità della successione di funzioni (come ci dovevamo aspettare visto che la successione converge q.c.).