Funzione di autocorrelazione statistica

[Kroldar]

Mi domandavo se, dato un processo aleatorio $X$ stazionario in senso lato e fissato un numero reale $tau$, la funzione di autocorrelazione statistica di questo processo $R_X(tau)$ è una funzione continua.
A occhio mi sentirei di rispondere di sì, ma vorrei il parere di qualcuno più esperto.

[Tipper]

Non sempre l'autocorrelazione è continua ovunque, se ad esempio il processo stocastico è bianco l'autocorrelazione è un impulso, non so se è questo quello che intendevi...

[Kroldar]

Ai processi bianchi non sono ancora arrivato, ho visto solo qualche esempio diverso. In ogni caso la tua risposta va più che bene come controesempio della continuità della funzione di autocorrelazione

[luca.barletta]

Altrimenti puoi vedere la funzione di autocorrelazione come un operatore circolare, le cui autofunzioni sono gli esponenziali complessi dello sviluppo in serie di Fourier, che puoi prendere come base di rappresentazione. Questo porta alla continuità quasi ovunque di $R_X(tau)$.

Però se consideri come processi aleatori i processi fisici, allora la continuità è un must, a meno che non consideri modelli fisici al limite tra teoria e realtà come i processi bianchi di rumore, come dice Tipper, oppure realizzazioni da laser.

[Kroldar]

Tutto chiarissimo.
Cos'è un operatore circolare?

[luca.barletta]

Un operatore che dipende solo dalla differenza di due indici (in questo caso indici temporali). Si può fare una similitudine con le matrici Toeplitz

[Kroldar]

Tutto ok, grazie.