Testo dell'esercizio:
Due v.a. $X$ e $Y$ indipendenti, gaussiane, a media nulla e varianza (uguale) $sigma^2$ sono sottoposte alle seguenti trasformazioni:
$Z=X+Y$
$W=2X-Y$
Determinare la pdf congiunta di $Z$ e $W$.
Ho provato a farlo con le trasformazioni $2 to 2$ e il risultato che mi esce è:
$f_(Z,W) = 1/3 * 1/(2pisigma^2) * e^((-(5z^2 - 6zw + 2w^2))/(9*2sigma^2))$
Non sono sicuro di aver fatto bene (anzi ho seri dubbi), dunque gradirei che qualcuno mi mostrasse il procedimento intero corretto.
Rilancio e generalizzo:
Siano $X$ e $Y$ due v.a. congiuntamente gaussiane e siano noti il vettore delle medie e la matrice di covarianza.
Siano $Z$ e $W$ due combinazioni lineari di $X$ e $Y$ del tipo:
$Z=aX+bY$
$W=cX+dY$
dove $a,b,c,d in RR$.
Esibire un metodo generale per calcolare il coefficiente di correlazione $rho_(Z,W)$ e la pdf congiunta di $Z$ e $W$.