Ciao a tutti e Buona Befana.
Sono alle orese con questo esercizio.
Traccia.
Supponiamo che un dado venga tarato in modo tale che quando esso viene lanciato in aria la probabilità che si presenti un numero sia proporzionale a quel numero. Sia A={numero pari}, B={numero primo} e C={numero dispari}.
(i) Descrivere lo spazio di probabilità, e cioè trovare l probabilità di ciascun punto campionario.
(ii) Determinare P(A), P(B) e P(C)
(iii) Determinare la probabilità che: (a) si presenti un numero pari o un numero primo (b) si presenti un numero primo dispari; (c) si verifichi A ma non B.
Allora i primi due punti sono semplici.
Mio svolgimento.
Lo spazio dei campioni è finito numerabile quindi discreto $Omega={1,2,3,4,5,6}$
(i) Prendo in considerazione i seguenti eventi:
$f_1$={esce la faccia 1}
$f_2$={esce la faccia 2}
$f_3$={esce la faccia 3}
$f_4$={esce la faccia 4}
$f_5$={esce la faccia 5}
$f_6$={esce la faccia 6}
e considero la $P(f_1)=p$ per cui sarà
$P(f_2)=2p$
$P(f_3)=3p$
$P(f_4)=4p$
$P(f_5)=5p$
$P(f_6)=6p$
applicando il secondo assioma di Kolmogorov si ha
$p+2p+3p+4p+5p+6p=1$$=>$$p=1/21$
dunque
$P(f_1)=1/21$
$P(f_2)=2/21$
$P(f_3)=1/7$
$P(f_4)=4/21$
$P(f_5)=5/21$
$P(f_6)=2/21$
(ii) Per determinare le probabilità di A, B e C ragiono in questo modo:
A={numero pari}
B={numero primo}
C={numero dispari}.
Tutti questi eventi sono mutuamente esclusivi tra di loro per cui è lecito scrivere usando l'assioma di Kolmogorov della finita additività:
P(A)=$P(f_2)+P(f_4)+P(f_6)=4/7$
P(B)=$P(f_2)+P(f_3)+P(f_5)=10/21$
P(C)=$P(f_1)+P(f_3)+P(f_5)=3/7$
(iii) i problemi cominciano al terzo punto.
(a) $AuuB$={"si presenta un numero pari o primo"}={2,4,6,3,5} ovvero l'evento che non si presenti 1 quindi $P(AuuB)=1-P(1)=20/21$
(b) $BnnC$={"si presenta un numero primo dispari"}={3,5}
(c) $Annnot(B)$={"Si presenta un numero pari ma non primo"}={4,6}
Questi eventi non sono mutuamente esclusivi perché la loro intersezione non è nulla...giusto?
Per cui dovrei applicare la seguente relazione?
$P(BuuC)=P(B)+P(C)-P(BnnC)$
oppure $P(Annnot(B))=P(A)-P(AnnB)$
come devo procedere, dove sbaglio?
GRAZIE.