Esercizio Probabilità, help me please!

[rocco.g]

Ciao!

Facendo esercizi mi sono trovato di fronte a questo:



non ho mai visto un esercizio così... qualcuno mi spiega come si risolve?
nn so proprio impostarlo...


grazie!!!

[Tipper]

Che vuol dire hanno distribuzione Exp(2) e Exp(1)?

[nicola de rosa]

Che vuol dire hanno distribuzione Exp(2) e Exp(1)?

$Exp(2)->f_(T_1)(t_1)=2*e^(-2t_1)u(t_1),Exp(1)->f_(T_2)(t_2)=e^(-t_2)u(t_2)$
Calcoliamo la pdf e cdf del minimo e massimo tra le due v.a.
Sia $S_1=min{T_1,T_2}$. Ora se $s_1<0->F_(S_1)(s_1)=Pr{S_1<=s_1<0}=0$
essendo le esponenziali intrinsecamente positive, mentre se $s_1>=0$
$F_(S_1)(s_1)=Pr{S_1<=s_1}=1-Pr{S_1>s_1}=1-Pr{min{T_1,T_2}>s_1}$=
$1-Pr{T_1>s_1,T_2>s_1}=1-Pr{T_1>s_1}*Pr{T_2>s_1}$
Ora $Pr{T_1>s_1}=e^(-2s_1),Pr{T_2>s_1}=e^(-s_1)$ per cui
$F_(S_1)(s_1)=[1-e^(-3s_1)]u(s_1)$ è la CDF di una v.a esponenziele di parametro $3$, cioè
$f_(S_1)(s_1)=(dF_(S_1)(s_1))/(ds_1)=3*e^(-3s_1)u(s_1)$

Vediamo il massimo:
Sia $S_2=max{T_1,T_2}$. Ora se $s_2<0->F_(S_2)(s_2)=Pr{S_2<=s_2<0}=0$
essendo le esponenziali intrinsecamente positive, mentre se $s_2>=0$
$F_(S_2)(s_2)=Pr{S_2<=s_2}=Pr{max{T_1,T_2}<=s_2}=Pr{T_1<=s_2,T_2<=s_2}=Pr{T_1<=s_2}*Pr{T_2<=s_2}$=
$F_(T_1)(s_2)*F_(T_2)(s_2)=(1-e^(-2s_2))*(1-e^(-s_2))u(s_2)$
per cui la pdf è
$f_(S_2)(s_2)=(dF_(S_2)(s_2))/(ds_2)=[e^(-s_2)+2e^(-2s_2)-3*e^(-3s_2)]u(s_2)=e^(-s_2)(1+3e^(-s_2))(1-e^(-s_2))u(s_2)$

Ora essendo $S_1,S_2$ funzioni di v.a indipendenti anche esse lo sono per cui
$f_(S_1 S_2)(s_1,s_2)=f_(S_1)(s_1)*f_(S_2)(s_2)=3*e^(-3s_1)*e^(-s_2)(1+3e^(-s_2))(1-e^(-s_2))u(s_1)u(s_2)$

Abbiamo risposto implicitamente anche al punto 3: infatti essendo indipendenti $S_1,S_2$
allora il condizionamento non opera cioè $f_(S_2|S_1)(s_2|s_1)=f_(S_2)(s_2)=e^(-s_2)(1+3e^(-s_2))(1-e^(-s_2))u(s_2)$

[rocco.g]

grazie!!!!

e per quanto riguarda U_1 ed U2 ?

mmmh... cioè è sempre la stessa cosa?