Disuguaglianza di Chebyshev...

[Nidhogg]

Sia $X$ una variabile aleatoria uniformemente distribuita in $(-1,1)$ e sia $Z$ una variabile aleatoria avente distribuzione normale standard, con $X$ e $Z$ indipendenti. Per $0<=p<=1$ sia: $Y=pX+(1-p)Z$.

(i) Facendo uso della disuguaglianza di Chebyshev si ricavi la funzione $g(p)$ tale che

$P(|Y|>=epsilon)<=(g(p))/(epsilon^2)$ per $epsilon>0$.

(ii) Determinare il minimo e il massimo di $g(p)$ per $0<=p<=1$.

Ringrazio chiunque mi chiarisca al 100% il problema e la sua risoluzione.

Saluti, Ermanno.

[Piera]

La disuguaglianza di Chebyshev è
$P(|Y|>=a)<=(E|y|^r)/a^r$.
Nel nostro caso $r=2$ e quindi $g(p)=EY^2$.
$EY^2=E(p^2X^2+(1-p)^2Z^2+2p(1-p)XZ)=p^2EX^2+(1-p)^2EZ^2+2p(1-p)EX*EZ=...