Processo di Poisson

[Nidhogg]

Sia $X(t)$ un processo di Poisson che descrive il numero di telefonate giunte ad un centralino telefonico nell'intervallo temporale $[0, t]$, con $P[X(t)=n]=((mu*t)^n)/(n!)*e^(-mu*t)$, con $n=0,1,2,...$
Per ogni $t>=0$ poniamo $N(t) = sgn{X(t)} = {(0,text( se ) X(t)=0),(1,text( se ) X(t)>0):}$
(i) Calcolare $E[N(t)]$ e $Var[N(t)]$.
(ii) Determinare il valore di $t$ per cui il valore medio $E[N(t)]$ è massimo.
(iii) Determinare il valore di $t$ per cui la varianza $Var[N(t)]$ è massima.

Ringrazio chiunque mi chiarisca lo svolgimento di questo esercizio.

Saluti, Ermanno.

[luca.barletta]

Ho pensato a questo:

$E[N(t)]=0*P[N(t)=0]+1*P[N(t)=1]=P[X(t)>0]=1-P[X(t)=0]$
$Var[N(t)]=E[N^2(t)]-E^2[N(t)]=E[N(t)]-E^2[N(t)]=E[N(t)](1-E[N(t)])$