Solo probabilità

[Piera]

1) Siano $X$, $Y$ variabili aleatorie indipendenti uniformi in (0,1). Determinare:
a) la probabilità che l'equazione (in $t$) $t^2+2Xt+Y=0$ abbia radici reali;
b) $P((max(X,Y))/(min(X,Y))<=3)$.

2) Tra i numeri 1, 2, ..., 56350 se ne sceglie uno a caso; qual è la probabilità che sia divisore di 56350?

3) Scegliendo a caso un numero naturale di sei cifre significative in base 10 avente tre cifre pari e tre cifre dispari, qual è la probabilità che presenti le cifre in ordine crescente?

4) Quattro persone, Primo e Secondo contro Terzo e Quarto, giocano a briscola con un mazzo di 40 carte. All'inizio del gioco si scopre una carta che determina il seme di briscola e poi si danno a ciascuno tre carte.
Sotto le usuali ipotesi di equiprobabilità e di indipendenza, determinare la probabilità che almeno uno dei quattro giocatori abbia tre briscole.

5) Calcolare la probabilità che in $n$ lanci di una moneta equa non ci siano due teste consecutive.

[luca.barletta]

1a)

$X,Y~U[0,1]$ iid
l'equazione ha radici reali quando $X^2>=Y$, e allora:
$P[X^2>=Y]=int_0^1 P[X^2>=y|Y=y]f_Y(y)dy=int_0^1 P[X>=sqrt(y)|Y=y]dy=int_0^1 (int_(sqrt(y))^1 dx)dy=(...)=1/3$

[DavidHilbert]

2) Tra i numeri 1, 2, ..., 56350 se ne sceglie uno a caso; qual è la probabilità che sia divisore di 56350?

Io odio il calcolo delle probabilità! Fattorizzazione: $56350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7^2 \cdot 23$. Numero dei divisori interi positivi: $\sigma_0(56350) = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 = 36$. Probabilità come rapporto fra il numero totale dei casi favorevoli e il numero totale dei casi possibili: $36/56350$.

[Tipper]

Per la 5) potrebbe andare $1-\frac{(n-1)+(n-2)+(n-3)+\ldots+(1)}{2^n}$?

[MaMo]

Per la 5) potrebbe andare $1-\frac{(n-1)+(n-2)+(n-3)+\ldots+(1)}{2^n}$?

Secondo me non va in quanto per $n->oo$ la probabilità deve tendere a 0 e non a 1.

[luca.barletta]

1b)

$Z=max(X,Y)$, $W=min(X,Y)$
$F_Z(z)=F_X(z)F_Y(z)=z^2$, ne segue che $f_Z(z)=2z$, $0<=z<=1$
$1-F_W(w)=(1-F_X(w))(1-F_Y(w))=(1-w)^2$, $0<=w<=1$

La prob cercata è
$P[W>=Z/3]=int_0^1 P[W>=z/3|Z=z]f_Z(z)dz=int_0^1 (1-F_W(z/3))f_Z(z)dz=int_0^1 (1-z/3)^2*2zdz=(...)=11/18$


P.S. P["Il mio svolgimento del 1b è esatto"]=1/2

[Piera]

1a) e 2) ok
1b) Credo che ci sia qualcosa che non quadra, a me viene $2/3$.

5) Non va...
Questo quesito ha a che fare con i numeri di Fibonacci, che ultimamente vanno di moda sul forum.

[Piera]

1b) L'errore dovrebbe essere qui:
$P(W>=Z/3|Z=z) ne P(W>=z/3)$ in quanto le due variabili $W$ e $Z$ non sono indipendenti, entrambe dipendono da $X$ e $Y$. Ti torna?
Il mio procedimento è questo:
$P((max(X,Y))/(min(X,Y))<=3)=P((max(X,Y))/(min(X,Y))<=3, Y<X)+P((max(X,Y))/(min(X,Y))<=3, Y>=X)=P(X/Y<=3, y<X)+P(Y/X<=3, Y>=X)=2/3$.

[luca.barletta]

Infatti anche a me non tornava quel risultato, per questo ho messo quel P.S., ho postato giusto per vedere cosa mi era sfuggito

[Nidhogg]

(5) Ho ragionato così...

Indichiamo con $a_n$ il numero di tutte le sequenze dove, dopo $n$ lanci, non si sono verificate due teste consecutive.
Poi indichiamo con $a_{n,0}$ il numero di tutte le sequenze dove, dopo $n$ lanci, non si sono verificate due teste consecutive e terminano con croce.
Infine indichiamo con $a_{n,1}$ il numero di tutte le sequenze dove, dopo $n$ lanci, non si sono verificate due teste consecutive e terminano con testa.
Ora possiamo scrivere: $a_n=a_{n,0}+a_{n,1}$. Essendo $a_{n,0}=a_{n-1}$, si ha: $a_{n,1}=a_{n-1,0}+a_{n-2} rarr a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$, cioè la successione di Fibonacci. Come soluzione in forma esplicita abbiamo la formula di Binet: $fib(n)=(1/sqrt(5))*(phi^n-(1-phi)^n)$, dove $phi=(1+sqrt(5))/2$. Quindi la probabilità cercata è espressa da: $P(X=n)=(fib(n))/(2^n)$.

Saluti, Ermanno.