Su una matrice di covarianza

[luca.barletta]

Leggendo un articolo sono rimasto perplesso su alcuni passaggi, nulla di complicato, ma ci sono delle assunzioni che non mi tornano. Dunque: sia
$z_l=sum_(i!=k-D-1,...,k-D-mu) a_i*g_(l-i) + w_l$
dove $E[w_p*w_q]=sigma_w^2*delta_(p-q)={(sigma_w^2,p=q),(0,p!=q):} e
$E[a_p*a_q]=sigma_a^2*delta_(p-q)={(sigma_a^2,p=q),(0,p!=q):}
Sia anche $ulz_k=[z_(k-1),z_(k-2),...,z_(k-n)]^T$
si vuole trovare un'espressione semplificata dell'elemento generico della matrice di covarianza $ululPhi=E[ulz_k^(**)*ulz_k^T]$:
$Phi_(i,j)=E[z_(k-i)^(**)*z_(k-j)]=...$

Per ora non metto il mio risultato per non influenzarvi nel procedimento.

[luca.barletta]

Questo è il mio risultato, in contrasto con quello dell'articolo:

$Phi_(i,j)=E[z_(k-i)^(**)*z_(k-j)]=E[(sum_(l!=k-D-1,...,k-D-mu) a_l*g_(k-i-l) + w_(k-i))^(**)(sum_(m!=k-D-1,...,k-D-mu) a_m*g_(k-j-m) + w_(k-j))]=$
$=sum_lsum_mE[a_l^(**)*a_m]g_(k-i-l)^(**)*g_(k-j-m)+E[w_(k-i)^(**)*w_(k-j)]=$
$=sigma_a^2sum_(l!=k-D-1,...,k-D-mu) g_(k-i-l)^(**)*g_(k-j-l) +sigma_w^2*delta_(i-j)=$

cambio di variabile r=k-l

$=sigma_a^2sum_(r!=D+1,...,D+mu) g_(r-i)^(**)*g_(r-j) +sigma_w^2*delta_(i-j)$

dunque la matrice di covarianza è hermitiana.
Dimenticavo, il secondo passaggio è giustificato dal fatto che le sequenze ${a_k}$ e ${w_k}$ sono indipendenti.
Questo è quello che ho trovato io, vi torna oppure ho toppato su qualche passaggio?

[Chicco_Stat_]

perdona la mia ignoranza Luca, cosa vuol dire che la matrice di covarianza è Hermitiana? intendi nel senso di operatore hermitiano? mi potresti spiegare di che si tratta?

[luca.barletta]

grazie per l'interessamento, matrice hermitiana sarebbe a dire che $Phi_(i,j)=Phi_(j,i)^(**)$

[Chicco_Stat_]

temo di saperne quanto prima... con l'asterisco indichi che cosa? la trasposta? l'inversa? il complemento algebrico? purtroppo non ho mai studiato niente che avesse denominazione di "hermitiano" abbi pazienza, te ne prego!
la cosa mi interessa perché di matrici di varianze e covarianze me ne son passate sotto gli occhi a pacchi, e vorrei capire!

[luca.barletta]

sì, ho dato un po' per scontato la mia notazione, con l'asterisco indico il complesso coniugato, le sequenze sono di numeri complessi; con una sottolineatura indico un vettore, con una doppia sottolineatura una matrice

[Chicco_Stat_]

ahhhh ok...si sfora nei complessi...interessante però....in che ambiti si usano i complessi per matrici di covarianze?

[luca.barletta]

sistemi di trasmissione dati in questo caso

[Chicco_Stat_]

wow...quante cose che ho ancora da imparare.. domandache probabilmente ti sembrerà stupida ma.. come mai entrano i numeri complessi in gioco? la matrice di varianze e covarianze, per come l'ho studiata io, dà indicazione della dispersione assoluta (diagonale principale, le varianze) e congiunta (fuori dalla diagonale principale, le covarianze) di vari fenomeni (o diverse manifestazioni dello stesso) e se ne può trarre un'informazione sulla magnitudine di questo legame normalizzandola ad una matrice di correlazioni..mi sfugge il senso di farlo coi complessi..
abbi pazienza, sono molto curioso e non so niente di queste cose

[luca.barletta]

Come entrano i numeri complessi in gioco? E' un discorso lungo se si vuole partire da zero a spiegarlo, dovresti avere alle spalle un corso di teoria dei segnali. Provo in parole povere: si vogliono trasmettere dei simboli (elementi della sequenza ${a_k}$) in un canale bidimensionale, ovvero il singolo simbolo ha 2 dimensioni; quindi abbiamo bisogno di 2 funzioni base indipendenti per rappresentare ogni simbolo; per semplificarci la vita scegliamo le funzioni 1 e i (unità immaginaria), in questo modo è come avere simboli $a_k in CC$. Poi la giustificazione della scelta di quelle 2 funzioni base è più ampia, ma mi fermo a questa intuizione.
Qual è il significato della matrice di covarianza definita sui complessi? In questo caso ci dice come influisce il canale (rappresentato dalla sequenza ${g_k}$) sui dati, niente di più.