Ditribuzioni normali

[bob80]

Ciao a tutti,
ho un problema e non ricordo una cosa di calcolo delle probabilita'.
Ho 3 variabili casuali distribuite come normali X,Y e Z
Devo calcolare W=(X+Y)/Z.
Ora se non ricordo male la somma di due ditribuzioni normali e' una normale (correggeti se anche questo e' sbagliato), ma il rapporto di due normali cosa e'???
Grazie anticipatamente a tutti,
Roberto

[luca.barletta]

Direi di cominciare col calcolare A=X*Y e poi di calcolare W tramite la funzione di ripartizione (altrimenti chiamata cumulativa)

[bob80]

Direi di cominciare col calcolare A=X*Y

ma era X+Y ?!?!?!

e poi di calcolare W tramite la funzione di ripartizione (altrimenti chiamata cumulativa)

cos'è?

[luca.barletta]

sì, mi sarà scappato un * al posto del +.
cos'è la funzione di ripartizione....
allora: $P[W<w]=int_(-infty)^w f_W(w)dw$

[Chicco_Stat_]

come dici giustamente tu la somma di variabili casuali normali è a sua volta una normale..per quanto riguarda il rapporto so dirti questo: il rapporto fra due variabili casuali N(0,1) è una distribuzione di Cauchy..questo dovrebbe rispondere al tuo quesito..a numeratore sommi e ottieni una normale...poi normalizzi per media e scarto quadratico medio sia sopra che sotto per ricondurti a normali standard ed ottieni come risultato del rapporto una Cauchy..
salutoni!

[Chicco_Stat_]

p.s. se vuoi dimostrarlo rigorosamente puoi passare come dice giustamente luca per la funzione di distribuzione (o ripartizione che dir si voglia) così:

siano $X$ e $Y$ due $N(0,1)$ e sia $Y$ definita su tutto l'asse reale ad eccezione dell'origine. La densità di probabilità congiunta di $X$ e $Y$ è

$f(x,y)=N(x;0,1)\cdotN(y;0,1)=1/(2pi)*e^(-1/2x^2)*e^(-1/2y^2)$

se definisci $u=x/y$ e $v=y$ e ricordando la regola per ottenere una marginale dalla distribuzione congiunta ottieni che la distribuzione di $U$ è (ometto i passaggi intermedi)

$phi(u)=1/(2pi)int_(-oo)^(+oo) e^(-1/2u^2v^2)*e^(-1/2v^2)|v|dv=[...]=1/(pi(1+u^2))$

e si riconosce che questa è la densità di probabilità di una Cauchy standardizzata.

Spero di essere stato d'aiuto!

[bob80]

Ragazzi, apprezzo tantissimo ;e vostre risposte, ma non ci ho capito nulla, ma forse e' anche colpa mia perche' non mi sono spiegato bene.
Devo fare una simulazioni con excel quindi ho:
X~N(u=100,sigma^2=100)
Y~N(u=300,sigma^2=225)
X~N(u=40,sigma^2=64)
e devo calcolare W=(X+Y)/Z
Allora supposto X+Y lo calcolo subito perche' basta fare la somma non riesco a capire quyale formula devo usare per calcolare poi il rapporto.
Come normalizzo quei valori.
Scusatemi se vi rompo, ma per me queste cose sono un bel po' arruginite.
Grazie ancora per l'aiuto!

[Chicco_Stat_]

uhm ma se ti basta fare le simulazioni non puoi creare una piccola macro? che ti prenda i valori da tre celle, una per ogni variabile (x,y,z), somma la prime due e fa il rapporto con la terza, lo fai iterare qualche migliaio di volte e salvi in una colonna i risultati, ordini i risultati, crei degli intervalli e ti fai graficare una distribuzione di frequenze...detto questo applichi un test di adattamento su questa distribuzione vagliando alcune ipotesi e scopri se quello per confrontarlo con una Cauchy ti dà un risultato positivo (a questo proposito ti consiglio kolmogorov-smirnoff, oppure un test $chi^2$ dopo aver generato da una cauchy un'altra fila di osservazioni)

è solo un'idea...magari non funziona così...però ad occhio se non devi calcolare integrali ed altro mi sembra la soluzione più diretta..

[bob80]

Si si i tre valori sono gia' belli che creati e avevo solo il dubbio con il rapporto. Se mi dite che basta sommare i primi due e poi dividere per il terzo allora ho praticamente gia' fatto. Pensavo che per il rapporto dovessi fare qualche accorgimento in piu'.
Grazie ancora,
Roberto

[Chicco_Stat_]

figurati, però ti ripeto, è solo un'idea...ma mi pare ragionevole..tu prova, fammi sapere!