Esercizio distribuzione esponenziale

Messaggioda Bonobopower » 14/02/2017, 18:21

Un sistema è formato dai componenti 1 e 2 in parallelo tra loro e da un componente 3 messo in serie ai primi due. I tempi di vita Ti dei tre componenti sono variabili aleatorie idipendenti con distribuzione esponenziale di media 2 giorni per i=1,2 e di media 3 giorni per i=3.

Riesco a fare i primi due punti, ma mi blocco al terzo ovvero
3) Calcola la probabilità che il rimo componente non funzioni in t= 6 giorni sapendo che il sistema in t=6 funziona.

Praticamente sarebbe da calcolare la P(T1<6 | T>6)

La prima cosa che mi è venuta in mente di fare è di trasformarla in P(T1<6,T>6)/P(T>6)

dopo di che ho pensato che se fossi riuscito a trasformare in P(T>6 | T1<6) forse avrei potuto fare qualcosa ( qui un altro dubbio, cioè se mi trovassi effettivamente in P(T>6 |T1<6) potrei direttamente considerare la probabilità T>6, cnsiderando T1 come non funzionante, o devo sempre portarlo nella forma in cui c'è l'intersezione?)

Sono stato un po' caotico ma non riesco a spiegarmi meglio... grazie :-D
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Re: Esercizio distribuzione esponenziale

Messaggioda walter89 » 19/02/2017, 13:16

Ci sono tre variabili in gioco: ti viene detto che i t=6 il componente 1 è guasto ma il sistema funziona, questo significa che i componenti 2 e 3 sono entrambi funzionanti.
La probabilità da calcolare è questa: $P(T_1<6|T_2>=6,T_3>=6)=(P(T_1<6,T_2>=6,T_3>=6))/(P(T_2>=6,T_3>=6))$
ora sapendo che le variabili sono indipendenti rimane $P(T_1<6)$
walter89
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Re: Esercizio distribuzione esponenziale

Messaggioda tommik » 19/02/2017, 13:20

walter89 ha scritto:Ci sono tre variabili in gioco: ti viene detto che i t=6 il componente 1 è guasto ma il sistema funziona, questo significa che i componenti 2 e 3 sono entrambi funzionanti.
La probabilità da calcolare è questa: $P(T_1<6|T_2>=6,T_3>=6)=(P(T_1<6,T_2>=6,T_3>=6))/(P(T_2>=6,T_3>=6))$
ora sapendo che le variabili sono indipendenti rimane $P(T_1<6)$


No Walter, la soluzione che proponi E' SBAGLIATA!


La probabilità che il sistema funzioni al tempo $T=6$ non è quella che hai scritto tu. Affinché il sistema funzioni ancora in $T=6$ è necessario che il componente 3 (quello in serie agli altri due) funzioni e almeno uno fra $T_(1)$ e $T_(2)$ funzionino.

Sotto l'ipotesi di indipendenza nella formula che hai scritto tu (come hai anche osservato) rimane solo $P(T_(1)<6)~~0.95$ che è evidentemente un risultato errato; infatti avendo DUE componenti in parallelo con la stessa distribuzione di durata, la probabilità condizionata richiesta deve essere identica per entrambi i componenti e quindi il risultato deve necessariamente essere $<0.5$

Oltretutto la probabilità richiesta non dipende dal funzionamento di $T_(3)$

Infatti, per come sono impostati i collegamenti, affinché il sistema funzioni in $t=6$ è necessario che $T_(3)$ funzioni...e quindi siccome sappiamo che il sistema in $T=6$ funziona, la probabilità di $T_(3)$ non serve.
Immagine
In sostanza, dato che le funzioni di Ripartizione e di sopravvivenza di una esponenziale sono note, senza fare conti otteniamo subito

$P{T_(1)<6|T>=6}=(P(T_(1)<6)P(T_(2)>6))/(1-P(T_(1)<6)P(T_(2)<6))=(e^(-3)(1-e^(-3)))/(1-(1-e^(-3))^2)~~0.487$

le disuguaglianze deboli non sono necessarie data la continuità delle distribuzioni

ciao a tutti (anche all'utente che ha postato il quesito a cui, evidentemente, non interessa una mazza della soluzione, dato che non si collega nemmeno più...)
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