probabilità condizionata (dadi e palline)

[grad90]

Due urne \(\displaystyle U_1 \) e \(\displaystyle U_2 \) contengono tre palline bianche e due nere e tre palline nere e due bianche, rispettivamente. Si lancia una moneta con probabilità di uscita di testa pari a \(\displaystyle 0.4 \). Se esce testa, si effettuano estrazioni con reimmissione sempre da \(\displaystyle U_1 \), altrimenti sempre da \(\displaystyle U_2 \).
Sia \(\displaystyle B_i \) l’evento che corrisponde alla proposizione “pallina bianca alla i-esima estrazione”.
Calcolare \(\displaystyle P(B_3|B_1 \cap B_2) \).

La probabilità che venga estratta una bianca l'ho calcolata come 12/25.
Provo ora ad applicare Bayes:
\(\displaystyle P(B_3|B_1 \cap B_2) = (P(B_1 \cap B_2|B_3) * P(B_3)) / P( B_1 \cap B_2) \),
ma poi non so come continuare...
Qualcuno mi dà una mano?

[tommik]

secondo me ti devi svincolare dall'applicare le formule del libro troppo meccanicamente, altrimenti ti bloccherai ad ogni esercizio leggermente diverso da quelli precedentemente svolti. Ragiona sullo spazio campionario dell'esperimento in questione.....

ti sta chiedendo la probabilità che alla terza estrazione esca bianco, dato che è uscito bianco nelle prime due estrazioni. In altri termini che esca BBB dato che è uscito BB nelle prime due estrazioni....non mi sembra complicato.

[grad90]

Ho provato a farlo utilizzando il teorema della probabilità totale:
\(\displaystyle P(B_3|B_1\cap B_2) = P(B_3|B_1\cap B_2|U_1)P(U_1) + P(B_3|B_1\cap B_2|U_2)P(U_2)\), ma così ottengo come risultato \(\displaystyle 12/25 \), invece la soluzione riporta \(\displaystyle 13/25 \).
Non essendoci reimbussolamento la probabilità che esca una certa pallina dipende solo dall'urna e non dalle palline pescate precedentemente... è giusto?
Quindi non capisco proprio come possa uscire un risultato come \(\displaystyle 13/25 \).

[tommik]

$(0,4 (3/5)^3+0,6 (2/5)^3)/(0,4 (3/5)^2+0,6 (2/5)^2)=13/25$

[grad90]

ok ho capito, sarebbe \(\displaystyle P(B_3|B_1\cap B_2) = P(B_3 \cap B_1\cap B_2)/P(B_1\cap B_2) \)
Grazie ancora, scusami ma ho appena cominciato a fare esercizi di questo tipo e sto trovando difficiltà. I tuoi suggerimenti mi sono molto d'aiuto.

[tommik]

È solo questione di fare esercizio e prenderci la mano... come ti dicevo utilizza più il ragionamento e non unicamente le formule studiate. In questa stanza ci sono migliaia di esercizi tutti risolti è commentati.

Per ogni necessità (quasi ogni necessità) siamo qui....

[grad90]

Grazie tante!